1.1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

Электромагнитная природа света. Свойства электромагнитных волн

Существование электромагнитных волн было предсказано теоретически Максвеллом как прямое следствие из уравнений электромагнитного поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине . Ее числовое значение почти совпало со скоростью света в вакууме, равной, по измерениям Физо в 1849 г., 3,15× 108 м/с. Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью волн. Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность световых волн – из экспериментов по поляризации света (Юнг 1817г.). Эти два факта привели Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Волновое уравнение

Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов (J = 0) и зарядов (R = 0) имеют следующий вид

,

Где E0 и M0 – соответственно электрическая и магнитная постоянные. Уравнение показывает, что магнитное поле порождается переменным электрическим полем. Уравнение представляет собой математическую формулировку закона электромагнитной индукции. Следующее уравнение выражает факт отсутствия статического электрического поля в вакууме. Уравнение постулирует отсутствие магнитных зарядов. Применяя к обеим частям уравнения операцию Rot, получаем

,

Где учтены соотношения и принято во внимание, что порядок дифференцирования по независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. Применяя известное из векторного анализа соотношение для дифференциальных операторов, запишем

.

Здесь D – оператор Лапласа, который в декартовых координатах записывается в виде

.

Поскольку в рассмотренном случае то из соотношения с учетом уравнения получаем уравнение для вектора : , где – скорость света в вакууме. Аналогично, применяя операцию rot к обеим частям равенства, получим уравнение для вектора : .

Уравнения, линейны по полю. Поэтому они эквивалентны совокупности скалярных уравнений такого же вида, в каждое из которых входит только одна декартова компонента напряженности электрического или магнитного полей и (A = X, Y, Z).

Уравнения, , называются волновыми уравнениями. Их решения имеют характер распространяющихся волн.

Плоская волна

Предположим, что произвольная компонента поля Ф (например, Еα или Вα) зависит лишь от одной пространственной координаты, например Z, и времени, т. е. Ф = Ф(Z,T). Тогда уравнение упростится и примет вид . Уравнению удовлетворяет функция вида: , где Ф1 и Ф2 – произвольные (дифференцируемые) функции своих аргументов.

Формула выражает общее решение уравнения. Она описывает суперпозицию двух волн. Первая из них распространяется вдоль, а вторая – против оси Z. Скорости обеих волн одинаковы и равны С. Действительно, возмущение Ф1, находившееся в момент времени T1 в точке Z1, в момент T2 приходит в точку Z2, определяемую соотношением T1 – Z1/C = T2 – Z2/C. Отсюда при T2 > T1 имеем Z2 > Z1, и скорость распространения волнового возмущения равна υ = (Z2 – Z1)/(T2 – T1) = C.

Функции Ф1 = Ф1(Z, T) и Ф2 = Ф2(Z, T) описывают плоские волны, так как волновое возмущение имеет одно и то же значение во всех точках бесконечной плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Конкретный вид функций Ф1 и Ф2 определяется начальными и граничными условиями задачи.

Плоская гармоническая волна

Конкретизируем закон изменения светового поля во времени и в пространстве. Рассмотрим, например, декартову компоненту поля E(Z, T). Пусть при Z = 0 E(0, T) = E0cos(WT), т. е. напряженность светового поля изменяется по гармоническому закону. Тогда в соответствии с (1.11) в области с Z ≥ 0 будет распространяться плоская гармоническая волна .

В этом выражении Е0 – амплитуда волны, W – круговая частота, связанная с периодом Т и частотой колебаний N = 1/Т соотношениями . Параметры K и , определяемые как , есть соответственно волновое число и длина волны. Величина J = WT – Kz называется полной фазой волны и зависит от T и Z. Фазу J(Z) = Kz, связанную с изменением пути, пройденного волной, называют набегом фазы или фазовым сдвигом.

Геометрическое место точек с одинаковым значением фазы называют волновым фронтом. В плоской гармонической волне волновой фронт представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения.

Пусть плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, задаваемом единичным вектором . Поверхности постоянных фаз имеют вид плоскостей, перпендикулярных вектору (рис. 1. 1). Введем волновой вектор .

Вектор указывает направление распространения волны, а его модуль равен волновому числу K = W/C. Обозначим расстояние, пройденное волной в направлении через X, и проведем вектор из начала координат в произвольную точку волнового фронта. Тогда, как видно из рис. 1.1, .

Используя последнее соотношение, получаем Теперь поле волны можно представить в виде . Р и с. 1.1

При гармоническом изменении во времени напряженностей электрического и магнитного полей частота остается постоянной. В оптике часто говорят не о гармонической, а о Монохроматической волне. Монохроматический означает “одноцветный”. Термин этот возник потому, что в видимом диапазоне глаз реагирует на изменение частоты излучения как на изменение цвета.

В дальнейшем для зависимости напряженности поля в волне от координат и времени вместо удобно использовать комплексную запись, принимая во внимание формулу Эйлера

.

Величина Е0 в может быть как действительной, так и комплексной. Учитывая, что в общем случае: и tg J = Im(E0)/Re(E0), запишем выражение в виде ,

Где |E0| – амплитуда плоской волны, J – начальная фаза колебаний в точке  = 0. Знак “Re” и знак модуля при записи будем опускать, не забывая, однако, о том, что физический смысл имеет лишь вещественная часть используемых комплексных выражений. .

Комплексная запись особенно удобна потому, что при ее использовании дифференцирование напряженности поля по времени ¶/¶T сводится, как видно из, просто к умножению на IW. Скалярное произведение можно записать в виде (Kx·X + Ky·Y + Kz·Z), поэтому дифференцирование , например, по координате X сводится к умножению на (Ikx).

Сферическая волна

Нетрудно убедиться, что уравнениям удовлетворяют и волны вида

, в которых напряженности полей зависят только от одной пространственной переменной – модуля радиус-вектора. Такие волны называют сферическими. Рассмотрим скалярное волновое уравнение

И будем искать его решение вида Ф = Ф(T,R). Для сферически симметричной функции Ф оператор Лапласа имеет вид Поэтому волновое уравнение перепишется следующим образом

Введем вспомогательную функцию F = RФ. Тогда последнее уравнение преобразуется к виду, аналогичному (1.10)

И, следовательно, его общее решение представится в виде суперпозиции двух волн, бегущих во взаимно противоположных направлениях

Возвращаясь к искомой функции Ф, получим

Выражение описывает две сферические волны. Первое слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения значений r, т. е. от центра, где расположен точечный источник. Такая волна называется Расходящейся. Второе слагаемое описывает волну, движущуюся в направлении уменьшения значения R, т. е. к центру. Такая волна называется Сходящейся. Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является постоянным.

Сферическая гармоническая волна

Если на сфере радиуса R0 задать гармоническое возмущение, синфазное во всех точках сферы, то возбуждаемая таким источником расходящаяся волна при R > R0 может быть представлена в виде:

Здесь в отличие от плоской волны амплитуда зависит от координаты, а фазовый и амплитудный фронты представляют собой сферы.

В комплексном представлении расходящаяся сферическая волна запишется так:

Наряду с плоской, сферическая гармоническая волна является эталонной волной, имеющей большое значение для оптики. Поэтому и сделан особый акцент на описание этих волновых процессов. Хотя сами по себе эти волны являются в значительной степени математической абстракцией, их роль в описании оптических явлений трудно переоценить. Во многих случаях реальный световой пучок можно разложить в спектр по плоским гармоническим волнам. Излучение реальной среды, состоящей из возбужденных атомов и молекул, часто можно представить как суперпозицию сферических волн.

Свойства плоской гармонической электромагнитной волны

Для анализа структуры плоской электромагнитной волны удобно записать уравнения Максвелла в символической форме с помощью векторного дифференциального оператора “набла”.

,

Где – единичные векторы, направленные вдоль осей X, Y, Z декартовой системы координат.

Принимая во внимание, что для произвольного векторного поля

уравнения Максвелла (1.1) – (1.4) можно записать так:

Будем искать решение этих уравнений в виде плоских гармонических волн

, где и  – постоянные векторы, не зависящие от времени, но компоненты которых могут быть комплексными. Подставляя выражения и в уравнение  –  и учитывая, что

Получаем следующие соотношения: , , .

Из соотношений и следует, что векторы и плоской волны перпендикулярны вектору , т. е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна является Поперечной. Соотношения  –  показывают, что векторы и взаимно перпендикулярны. Таким образом, для плоской гармонической световой волны, распространяющейся в вакууме в произвольном направлении , векторы , и образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов (рис. 1.2).

Р и с. 1.2

Взяв от обеих частей  –  модули и учитывая взаимную ориентацию всех векторов, а также, что , , , находим следующие соотношения между значениями напряженности электрического и магнитного полей, а также между напряженностью электрического поля и магнитной индукцией плоской волны в вакууме: , .

На рис. 1.2 видно также, что в бегущей плоской волне и изменяются в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигают максимальных и нулевых значений.

Плотность потока энергии

Плотность потока энергии электромагнитного поля определяется вектором Умова — Пойнтинга

,

Который указывает направление и количество энергии, переносимой световой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Модуль вектора в случае плоской волны может быть представлен в виде:,

Где учтено одно из соотношений.

Учитывая, что значение вектора электромагнитной волны оптического диапазона изменяется с частотами порядка 1015 Гц, то следить за изменением этой величины во времени невозможно. Можно наблюдать и измерять лишь средние значения, как величины Е2, так и величины S, по очень большому числу периодов колебаний. Поэтому от мгновенных величин необходимо перейти к средним.

Учитывая, что для гармонических волн E = Е0 coswT, где Е0 – амплитуда напряженности электрического поля волны, находим среднюю по времени плотность потока энергии, которую называют обычно Интенсивностью света:

Обычно в эксперименте используют пучки света конечного сечения, по которому плотность потока распределена неравномерно. Чаще всего пучок имеет круговое сечение, распределение плотности энергии по которому аксиально симметричное и гауссово. Такой пучок называется гауссовым, и распределение средней плотности потока энергии имеет вид Где S0 – средняя плотность потока энергии в центре пучка (R = 0); R – расстояние от центра. На расстоянии R0 плотность потока энергии убывает в Е = 2,72 раза. По обычной договоренности об обращении с экспоненциально убывающими величинами можно сказать, что радиус пучка равен R0. Гауссовы волны могут служить математической моделью излучения оптических квантовых генераторов (лазеров).