Из курса оптики известно, что целый ряд оптических явлений удается последовательно описать с волновой точки зрения; примерами служат хорошо известные явления интерференции и дифракции света. С другой стороны (сошлемся на рассмотренный в предыдущем параграфе эффект Комптона), свет столь же явно демонстрирует свою корпускулярную природу. Этот дуализм "волна-частица" надо рассматривать как экспериментальный факт, и поэтому последовательная теория света должна быть корпускулярно-волновой. Разумеется, в каких-то предельных случаях могут оказаться достаточными только волновое или только корпускулярное описания.
Оказывается, и при этом мы вновь сошлемся на эксперимент, что и частицы вещества с ненулевой с массой (к ним относятся, например, электроны, протоны, нейтроны, атомы, молекулы и т. д.) также обнаруживают волновые свойства, так что между ними и фотонами нет принципиального различия.
В этом пункте при переходе от макро — к микрообъектам возникает известная трудность в понимании существа физических явлений. Действительно, на уровне макроявлений корпускулярное и волновое описание четко разграничены. На уровне микроявлений эта граница в значительной степени размывается и движение микрообъекта становится одновременно и волновым, и корпускулярным. Иными словами, более адекватной действительности становится ситуация, при которой микрообъект в какой-то мере похож на корпускулу, в какой-то мере на волну, причем эта мера зависит от физических условий наблюдения микрообъекта.
Последовательной теорией, учитывающей эту особенность всех микрочастиц, является квантовая теория. Но прежде чем перейти к изложению ее основных идей, необходимо установить каким образом один и тот же физический объект в принципе может проявлять то корпускулярные, то волновые свойства и какая существует сопоставимость этих двух различных способов описания.
В оптических явлениях установлен критерий применимости понятия луча (т. е. корпускулярной картины) и найдены правила перехода от волновых понятий к корпускулярным. Продолжая рассуждения в этом направлении, можно надеяться! что здесь же лежит переход в обратном направлении: от корпускулярных понятий классической механики к волновым представлениям квантовой механики.
Соответствующие идеи, использующие оптико-механическую аналогию, были высказаны французским физиком Л. де Бройлем в 1924 г. Де Бройль выдвинул смелую гипотезу о том, что дуализм "волна-частица" не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальную применимость во всей физике микромира. В своей книге "Революция в физике" он писал: "В оптике в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалось ли в теории материи обратной ошибки? Не думали ли мы слишком много о картине "частиц" и не пренебрегали ли чрезмерно картиной волн?”
К допущению волновых свойств у материальных частиц его привели также следующие соображения. В конце 20-х годов XIX в. В. Гамильтон обратил внимание на удивительную аналогию между геометрической оптикой и классический (ньютоновской) механикой. Было показано, что основные законы этих столь непохожих на первый взгляд разделов физики представимы в математически тождественной форме. В результате вместо того, чтобы рассматривать движение частицы во внешнем поле с потенциальной энергией 
, можно изучать распространение светового луча в оптически неоднородной среде с подобранным соответствующим образом показателем преломления 
. Разумеется, эта эквивалентность описаний допускает и обратный переход.
Отмеченная аналогия распространялась Гамильтоном только на геометрическую оптику и классическую механику. Но, как уже отмечалось, геометрическая оптика является приближением более общей волновой оптики и не описывает сугубо волновых свойств света. В свою очередь, классическая механика также имеет ограниченную область применимости: она, как известно, не может объяснить существование дискретных уровней энергии в атомных системах.
Идея де Бройля заключалась в том, чтобы расширить аналогию между оптикой и механикой и волновой оптике сопоставить волновую механику, попытавшись применить последнюю к внутриатомным явлениям. "Попытка приписать электрону, и вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия (постоянной Планка 
), – такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной… Необходимо создать новую механику волнового характера, которая будет относиться к старой механике как волновая оптика к геометрической оптике", – писал де Бройль в книге "Революция в физике".
За открытие волновых свойств вещества Л. де Бройль в 1929 г. был удостоен Нобелевской премии.
Обратимся теперь к формальной стороне вопроса. Пусть мы имеем микрочастицу (например, электрон) с массой M, движущуюся в вакууме с постоянной скоростью 
. Пользуясь корпускулярным описанием, припишем частице энергию E и импульс 
в соответствии с формулами (рассмотрим общий случай релятивистской частицы).
С другой стороны, в волновой картине мы используем понятия частоты 
и длины волны 
(или волнового числа 
). Если оба описания являются различными аспектами одного и того же физического объекта, то между ними должна быть однозначная связь. Следуя де Бройлю, перенесем на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, справедливые в применении к свету:
(1.2.2)
Соотношения (1.2.2) получили название Формул де Бройля. Длина волны, связанная с частицей, определяется выражением
(1.2.3)
Ее называют Длиной волны де Бройля. Нетрудно сообразить по аналогии со светом, что именно эта длина волны должна фигурировать в критериях применимости волновой или корпускулярной картин.
Наиболее простым типом волны в вакууме с определенной частотой и волновым вектором 
является плоская монохроматическая волна
Поэтому в соответствии с формулами (1.2.2) свяжем с движением частицы волну вида
(1.2.4)
Такую волну называют Волной де Бройля. Непростой вопрос о физической природе этой волны и о толковании ее значений отложим на последующие параграфы.
Из определения (1.2.3) получим ряд полезных соотношений, связывающих длину волны де Бройля с параметрами движущейся частицы. Подставив формулу (1.2.1) для импульса частицы P в (1.2.3), получим зависимость от скорости частицы:
(1.2.5)
Выразив с помощью соотношения 
импульс частицы P через ее полную энергию E, найдем, что
(1.2.6)
Обозначим T кинетическую энергию частицы. Воспользовавшись определением 
, из (1.2.6) получим формулу
(1.2.7)
Выражающую дебройлевскую длину волны частицы через ее кинетическую энергию.
В предельном случае нерелятивистской частицы, когда отношение 
, из (1.2.6) получим выражение для дебройлевской длины волны в нерелятивистском приближении:
(1.2.8)
Разумеется, выражение (1.2.8) можно было получить непосредственно из формулы (1.2.5) в пределе, когда отношение 
.