Основные формулы
Средняя скорость тела за промежуток времени ΔT Определяется отношением перемещения тела ΔR к промежутку времени ΔT:
Где 
– радиус–вектор начальной точки, 
– конечной.
Средний модуль скорости тела за промежуток времени ΔT есть отношение пути S, пройденного телом за это время, к ΔT:
.
Средним ускорением называется отношение изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:
.
Мгновенная скорость равна производной радиус-вектора точки по времени 
И направлена по касательной к траектории; для прямолинейного движения 
,
Ускорения 
.
Кинематические соотношения для прямолинейного равнопеременного движения:
,
,
Где υ0 скорость тела в момент времени T = 0, A – ускорение тела.
При криволинейном движении полное ускорение тела раскладывается на нормальную и тангенциальную к траектории составляющие: 
.
Тангенциальная составляющая ускорения определяет изменение модуля скорости: 
,
Нормальная – изменение направления скорости:
,
Где R–радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено к центру кривизны траектории.
Модуль полного ускорения:
.
При движении по окружности кинематическими характеристиками являются:
– угол поворота φ,
– угловая скорость ω = 
,
– угловое ускорение ε = 
= 
.
Кинематические уравнения для вращательного равнопеременного движения:
ε T
φ = ω0 T + ε
,
Где ω0 – угловая скорость в момент времени T=0, e – угловое ускорение.
Линейные и угловые параметры движения связаны соотношением: υ = ω R, Aτ = ε R.
Примеры решения задач
Задача 1
Зависимость пройденного телом пути S от времени T даётся уравнением S=A+Bt+Ct2+Dt3, где С=0,14 
, D=0,01 
. Через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 1 ? Чему равно среднее ускорение тела за время от T = 0 до T = 1 ?
Решение
Мгновенное ускорение тела в момент времени T можно найти как вторую производную от пути:
A = 
= 
(B+2Ct+3Dt2) = 2C+6Dt.
Надо определить значение T, при котором A = 1 
.
Получим: T = 
.
Подставив численные значения, получим:
T = 
= 12 с.
Чтобы найти среднее ускорение за промежуток времени от T1 до T2, надо определить величины скорости в момент времени T1 и T2 и их разность разделить на T2 – T1:
AСр = 
.
Скорость находим как производную пути по времени:
υ = B+2Ct+3Dt2,
υ1 = B+2Ct1+3Dt12,
υ2 = B+2Ct2+3Dt22.
Разность скоростей:
υ2 – υ1 = 2С(T2 – T1) + 3D(T22 – T12) = (T2 – T1)[2С +3D(T2+T1)],
Подставляем в формулу для среднего ускорения:
AСр = 
= 2С+3D(T2+T1).
Подставив численные значения, получим:
AСр = 0,28 + 3.0,01.1с = 0,31.
Задача 2
Тело брошено со скоростью υ0 = 14,7 , под углом α = 30о к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через T= 1,25 с после начала движения, а также радиус кривизны траектории в данный момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение
Полная скорость тела направлена по касательной к траектории, её можно разложить на горизонтальную составляющую–υx и вертикальную составляющую – υy. Треугольники скоростей и ускорений прямоугольные и угол между υУ и υ такой же, как и между Aτ и G (так как Aτ и υ направлены по касательной к траектории, а υy и G – по оси Y). Таким образом, чтобы найти An и Aτ, нужно определить в данный момент времени υx, υУ, υ.
υx = υ0 cos α = const,
υ У = — υ0 sin α + Gt
(так как мы выбрали направление оси Y вниз),
υ = 
.
Из подобия треугольников имеем:
= 
, 
= 
,
Отсюда Aτ = g , an = g .
Радиус кривизны траектории определяется из условия:
An = 
,
Значит R = 
= 
.
Подставив численные значения, получим:
Aτ = 
= 3,55 
,
An = 
= 9,15 ,
R = 
= 10 м.
Задача 3
Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.
Решение
Запишем кинематические соотношения для вращательного движения: ω = ω0 – ε T, φ = ω0T – ε 
.
В условии задана не угловая скорость ω, а частота вращения ν, ω = 2πν, φ = 2πΝ.
Подставляем эти соотношения в уравнения:
2πν = 2πν0 – ε T.
Отсюда ε = 
,
2πΝ = 2π ν0T – ε = 2πν0T – 2π (ν0–ν)
= 2π (ν0+ν),
Или N = (ν0+ν).
Подставив числовые значения, найдём:
ε = 750 мин -2 = 0,208 с -2,
N = 240 оборотов.
Задача 4
Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60о с направлением линейной скорости этой точки.
Решение
Скорость точки направлена по касательной к траектории, т. е. к окружности. По касательной направлено и тангенциальное ускорение. Значит, угол между полным ускорением и тангенциальным ускорением равен углу между ускорением и скоростью.
На чертеже видно, что An = Aτ Tg α. (1)
Выражаем An и Aτ Через угловые параметры движения:
An = ω2R, Aτ = εR,
И подставляем в (1)
ω2R = ε R Tg α. (2)
При нулевой начальной скорости
ω = ε T.
Подставляем в (2):
ε2T2 = ε Tg α,
ε = 
= 0,43 с-2.