Будем рассматривать трёхмерное Евклидово пространство , т. е. пространство, в котором определена операция скалярного произведения. Говорят, что в
задана векторная функция
, определённая на множестве
, если для каждого
ставится в соответствие
(причём
— одномерное множество).
Рассмотрим случай, когда -отрезок. В
введём ортонормированный базис
. Тогда вектор
можно разложить по данному базису:
, где
,
,
— проекции вектора на соответствующие орты.
назовем Пределом векторной функции
в точке
, если
(1). Так как под знаком предела стоит модуль, то это скалярная величина. Обозначим этот предел как
. (но подразумевать под этим выражением будем выражение (1)). Если
, то можно доказать следующее утверждение:
Теорема 1: является пределом функции
В точке
тогда и только тогда, когда
,
,
.
Доказательство.
Непосредственно из определения имеем:
. (2)
Очевидно, что правая часть равенства (2) стремиться к 0, так как ,
,
при
. Так как каждая из скобок стремиться к 0, то и левая часть равенства (1) стремиться к 0, что и требовалось доказать.
Векторная функция
называется Непрерывной в точке
, если
.
Векторная функция называется Непрерывной на отрезке
, если она непрерывна в каждой точке отрезка.
Из непрерывности функции следует непрерывность её компонентов
,
,
и наоборот.
Производной векторной функции в точке t называется:
.
Производная обозначается несколькими эквивалентными способами: ,
. Вторая производная определяется как производная от первой
.
Выберем точку и отложим от неё множество векторов (см. рис. 1). Кривая, которую образуют концы векторов, называется Годографом.
Рассмотрим более подробно два соседних вектора и их разность (см. рис. 2). Очевидно, что вектор при
начинает скользить по годографу. То есть геометрическим смыслом производной
является вектор, лежащий на касательной к годографу.
Для того, что бы функция была дифференцируема, необходимо выполнение равенства :
, (3)
Где .
Свойства производной.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
Доказательство пятого свойства.
Из определения производной имеем:
.
Согласно (3) получаем:
.
Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и более высоких порядков, имеем:
,
Что требовалось доказать.
Теорема 2: Если, то вектор
Перпендикулярен вектору
.
Доказательство.
Из условия теоремы имеем:
.
Продифференцировав это равенство, получим:
,
Что и требовалось доказать.
Используя равенство , можно разложить векторную функцию
в ряд Тейлора:
.