1. Векторные функции скалярного аргумента

Будем рассматривать трёхмерное Евклидово пространство , т. е. пространство, в котором определена операция скалярного произведения. Говорят, что в задана векторная функция , определённая на множестве , если для каждого ставится в соответствие (причём — одномерное множество).

Рассмотрим случай, когда -отрезок. В введём ортонормированный базис . Тогда вектор можно разложить по данному базису: , где , , — проекции вектора на соответствующие орты. назовем Пределом векторной функции в точке , если (1). Так как под знаком предела стоит модуль, то это скалярная величина. Обозначим этот предел как . (но подразумевать под этим выражением будем выражение (1)). Если , то можно доказать следующее утверждение:

Теорема 1: является пределом функции В точке тогда и только тогда, когда , , .

Доказательство.

Непосредственно из определения имеем:

. (2)

Очевидно, что правая часть равенства (2) стремиться к 0, так как , , при . Так как каждая из скобок стремиться к 0, то и левая часть равенства (1) стремиться к 0, что и требовалось доказать.

Векторная функция называется Непрерывной в точке , если .

Векторная функция называется Непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке отрезка.

Из непрерывности функции следует непрерывность её компонентов , , и наоборот.

Производной векторной функции в точке t называется:

Производная обозначается несколькими эквивалентными способами: , . Вторая производная определяется как производная от первой .

Выберем точку и отложим от неё множество векторов (см. рис. 1). Кривая, которую образуют концы векторов, называется Годографом.

Рассмотрим более подробно два соседних вектора и их разность (см. рис. 2). Очевидно, что вектор при начинает скользить по годографу. То есть геометрическим смыслом производной является вектор, лежащий на касательной к годографу.