Рассмотрим регулярную поверхность . Как мы видели в 9, касательная к произвольной лини, лежащей на этой поверхности, лежит в плоскости векторов
и
. Плоскость, проходящая через точку, лежащую на поверхности, параллельной векторам
и
, называется Касательной плоскостью к поверхности. Очевидно, что нормальный вектор имеет вид:
.
Тогда уравнение касательной плоскости принимает вид:
, (1)
Где — вектор некоторой фиксированной точки на поверхности (то есть
) и
— радиус-вектор произвольной точки поверхности.
Запишем радиус-вектор произвольной точки касательной поверхности в координатном виде:
.
Отсюда следует, что
,
Где ,
,
. Согласно выражению (1), уравнение касательной плоскости имеет вид:
.
Пусть поверхность задана в виде . Тогда радиус-вектор
можно записать в виде:
.
В этом случае коэффициенты ,
,
Имеют вид:
,
,
.
Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид:
. (2)
Преобразовав (2) получим:
.
Если касательная плоскость задана в неявном виде: , где
, то, согласно правилам дифференцирования неявной функции, имеем:
,
.
Подставляя в (2) вместо и
соответственно
и
, и умножая на
, после преобразований получим:
.
Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания называется Нормалью.
Уравнение нормали имеет вид:
,
Где — точка касания, или в параметрическом виде:
.