В теории электромагнетизма доказано, что решение корректно поставленных задач единственно. Существует наглядный метод нахождения поля, удовлетворяющего условиям задачи, называемый методом изображений.
Его суть состоит в следующем. Поле точечного заряда хорошо известно. Стараются подобрать такую систему точечных зарядов, суммарное поле которых удовлетворяет всем условиям задачи. Из теоремы об единственности решения заключаем, что это поле дает искомое решение. Математически задача сводиться к нахождению потенциала, удовлетворяющего условиям задачи. Напряженность Е направлена перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям и вычисляется как взятый с обратным знаком градиент от потенциала. Получить форму эквипотенциальных поверхностей системы точечных зарядов в принципе легко.
Фактически сказанное означает, что если нарисовать картину силовых линий поля, создаваемого системой заряженных объектов, и она совпадает с картиной силовых линий поля, создаваемого системой точечных зарядов, то это означает, что эти поля одинаковы. И сложный расчет поля в первом случае изменяется на довольно простой во втором. Еще раз отметим, что в графической интерпретации это означает, что у этих полей одинаковая картина силовых линий.
Пример 1.
Дана проводящая бесконечная плоскость и заряд q > 0 на расстоянии r от плоскости. Найти поле в точке М.
На плоскости будут индуцироваться заряды с плотностью 
<0, убывающей до нуля в бесконечности. Тогда потенциал в точке М, согласно принципу суперпозиции, равен
. (10.1)
Отметим, что сам потенциал проведенной плоскости будет равен 0.
Если строго решать эту задачу, необходимо найти закон распределения и вычислить 
в точке М, а затем воспользоваться принципом суперпозиции (10.1).
Рассмотрим поле, создаваемое двумя точечными зарядами +q и –q, расположенными на расстоянии 2r друг от друга.
Если провести плоскость, перпендикулярную линии 2R, то это будет эквипотенциальная поверхность, как легко видеть, с потенциалом, равным 0.
Картина силовых линий справа на двух рисунках одинакова. Значит «действие» бесконечной отрицательно заряженной плоскости совместно с положительным точечным зарядом +q справа от эквипотенциальной поверхности может быть заменено на «действие», обусловленное двумя точечными зарядами +q и –q, находящимися на расстоянии 2R. В этом случае можно считать, что поле в первом случае создается зарядом q и его «изображением» –q, «как в зеркале».
Следовательно, можно заключить, что потенциал поля в точке М во втором случае 
. Но тогда этой же формулой можно представить потенциал поля в точке М в первом случае, если ввести понятие изображения заряда q в плоскости, как в зеркале, т. е. заряд –q – фиктивный заряд, который называется изображением заряда q в плоскости. Не нужно решать никакую сложную задачу, а поле в точке М находится как суперпозиция полей заряд q и его изображения –q.
Сила взаимодействия между зарядом q и бесконечной проводящей плоскостью будет равна силе взаимодействия заряда q м его изображения, т. е. 
.
Пример 2.
Даны 2 перпендикулярные проводящие полуплоскости и заряд +q. Найти 
.
Метод изображений позволяет зразу вычислить поле в точке М. Найдем изображение q в этих плоскостях. Если оптически построить изображение точки +q в двух перпендикулярных зеркалах, то изображений будет три: q1, q2 и q3 – третье изображение из-за переотражений в зеркалах. Очевидно, что q1
=–q; q2=–q, а q3=–(–q)= q. И тогда потенциал поля в точке М Можно найти как суперпозицию полей заряда q и трех его «изображений». Естественно, количество таких ситуаций ограничено.
Метод изображений, конечно, не сводится во всех случаях в буквальном смысле к нахождению зеркального изображения зарядов. В курсе уравнений математической физики метод изображений, например, используется для построения функции точечного источника (функции Грина) I краевой задачи для уравнения Лапласа. Там же мы встречаем изображение на круге, изображение на сфере.
В заключение рассмотрим еще один пример.
Пример 3.
Определим силу взаимодействия между проводящей заземленной сферой радиуса А и точечным зарядом q2 расположенном на расстоянии d2 от центра сферы и поле этой системы в точке М.
В этом случае потенциал сферы равен 0.
Рассмотрим сначала поле, создаваемое двумя точечными зарядами q1 и q2, расположенными с точкой О на одной прямой на расстоянии d1 и d2 от точки О.
.
Найдем эквипотенциальную поверхность, удовлетворяющую условию 
. Пусть q1 = | q1|, q2 = — | q2|. Тогда
.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
.
Чтобы равенство нулю выполнялось для всех θ, необходимо потребовать:
.
Тогда получим 
, 
. Подставим q1 в А2:
. Следовательно, если 
, а 
, то потенциал на воображаемой сфере радиуса А будет равен нулю. Причем 
.
Теперь проведем сопоставление исходной задачи и рассмотренного примера. В обоих случаях имеется сфера с потенциалом равным нулю. Поле в пространстве вне сферы, очевидно, будет одинаково, так как во втором случае тот же заряд и та же сфера. Таким образом, можно сделать следующий вывод:
Если ввести изображение заряда q1 на сфере радиуса А, то этот заряд 
. В этом случае поле, создаваемое сферой и зарядом q2 , будет точно таким же, как поле, создаваемое зарядом q2 и его изображением на сфере q1, т. е. потенциал в точке М:
.
А сила взаимодействия между проводящей заземленной сферой и зарядом q2 будет определяться законом Кулона как сила взаимодействия между зарядом q2 и его изображением на сфере – зарядом q1, т. е. легко найти, что
.