§ 11. Электростатическое поле при наличии диэлектриков

Дипольный момент непрерывного распределения зарядов.

Влияние вещества на электрическое и магнитное поля было открыто и исследовано Фарадеем. Результаты этих работ привели Фарадея к идее близкодействия и концепции электрического поля. Электростатическая индукция была им открыта в 1837г. Тогда же он ввел в науку термины «диэлектрик» и «диэлектрическая постоянная».

Пусть в некотором объеме V имеется непрерывно распределенный заряд с объемной плотностью, но пусть в целом объем электрически нейтральный, тогда

(11.1)

Если =0 во всех точках объема, то эта система электрически нейтральна, а именно на нее не действует внешнее поле и сама она не способна создавать поле. Если же в одних частях объема положительна, а в других отрицательна, то хотя в целом заряд объема равен нулю, такая система способна создавать электрическое поле и на нее действует внешняя электрическая сила. В первом приближении электрические свойства нейтральной системы характеризуются ее дипольным моментом. Если взять два точечных заряда q и (-q) и расположить их на расстоянии l, то такая система будет обладать дипольным моментом (см.(7.7)) .

При непрерывном распределении заряда по объему V дипольный момент

, (11.2)

Где радиус-вектор отсчитывается от точки O, принятой за начало отсчета.

Величина (11.2) не зависит от того, какая точка выбрана за начало системы отсчета. Если за начало отсчета выбрать точку , положение которой относительно точки О характеризуется радиус-вектором , то дипольный момент непрерывного распределения зарядов относительно этой точки будет равен (11.3)

Если взять два сколь угодно малых элементарных объема И С зарядами И , то дипольный момент

, (11.4)

Где и — радиус-векторы этих объемов. Если, например, в объеме находится положительный заряд =Q. Тогда вследствие электрической нейтральности системы =-Q И формула (11.4) принимает вид:

, что совпадает с (7.7).

Поляризация диэлектриков.

Диэлектриками называются вещества, в которых под действием поля не возникает перемещение зарядов, как, например, в проводниках. В диэлектриках они сдвигаются, но не перемещаются на большие расстояния.

Рассмотрим электрически нейтральный объем диэлектрика. Внешнее электрическое поле стремится сдвинуть положительные заряды в направлении, а отрицательные – в противоположном. В результате в одних областях пространства появляются положительные заряды, а в других – отрицательные, в результате чего диэлектрик приобретает дипольный момент. Этот процесс называется поляризацией. Степень поляризации характеризуется поляризованностью, определяемой как отношение дипольного момента элемента диэлектрика к его объему :

(11.4)

Молекулярная картина поляризации.

Диэлектрик состоит из атомов и молекул, причем любой его бесконечно малый физический элемент объема является электрически нейтральным. Положительный заряд сосредоточен в ядрах атомов, а отрицательный – в электронных оболочках атомов и молекул. Положительные и отрицательные заряды расположены в различных точках пространства, и, следовательно, атомы и молекулы могут обладать электрическими дипольными моментами, которые изменяются с частотой колебаний электронов в атомах порядка .

Если в атоме при отсутствии внешнего электрического поля Электронное облако распределено сферически симметрично относительно ядра, то атом не обладает электрическим дипольным моментом. Аналогично, в молекулах положительные и отрицательные заряды могут обладать такой симметрией распределения, когда у них не возникает дипольный момент. Такие молекулы и атомы называются Неполярными, например атом гелия, двухатомные молекулы, состоящие из одинаковых атомов (H2, N2, O2, …), симметричные многоатомные молекулы СО2, СН4 и др. При отсутствии внешнего поля такой диэлектрик не поляризован.

Молекулы и атомы, обладающие электрическим дипольным моментом при отсутствии внешнего поля, называются Полярными, например СО, N2O, SO2 и др. Постоянный дипольный момент у них имеет порядок – .Это соответствует диполю, состоящему из двух элементарных зарядов , расстояние между которыми , т. е. порядка атомных размеров.

При отсутствии внешнего электрического поля постоянные дипольные моменты отдельных молекул ориентированы беспорядочно и, следовательно, их сумма в физически бесконечно малом объеме равна нулю, т. е. диэлектрик неполяризован.

Во внешнем электрическом поле положительные заряды стремятся сместиться по направлению напряженности поля, а отрицательные – противоположно.

В результате неполярные молекулы приобретают дипольный момент и диэлектрик поляризуются. Полярные молекулы также приобретают дополнительный индуцированный внешним полем дипольный момент и благодаря этому также поляризуются, но эта поляризация играет для них лишь незначительную роль. Главный механизм поляризации для них другой: Во внешнем электрическом поле на постоянные дипольные моменты молекул действуют моменты сил, стремящиеся ориентировать дипольные моменты в направлении напряженности поля. В результате молекулы переориентируются так, что бесконечно малые физические элементы объема диэлектрика приобретают дипольные моменты, т. е. диэлектрик поляризуются. Поляризованность за счет переориентации молекул значительно больше, чем вследствие образования дополнительных дипольных моментов, индуцированных внешним полем.

Наряду с этими механизмами поляризации существует еще один. В ионных кристаллах под влиянием внешнего электрического поля положительные ионы смещаются в направлении напряженности поля, а отрицательные – противоположно. В результате происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, что приводит к возникновению в диэлектрике дипольных моментов, т. е. поляризация диэлектрика. Такая поляризация называется Ионной решеточной поляризацией.

Во всех случая поляризация количественно характеризуется поляризованность Р. Механизм поляризации проявляется лишь при изучении зависимости Р от напряженности внешнего поля и других факторов. При этом формула, связывающая между собой напряженность электрического поля, электрическое смещение и поляризованность остается неизменной.

При внесении диэлектрика, состоящего из полярных молекул, в электрическое поле происходит эффект ориентации дипольных моментов

В этом случае поляризованность

(15.5)

Где — среднее значение дипольных, равных друг другу по абсолютному значению, но различно направленных в пространстве.

При внесении неполярного диэлектрика в электрическое поле под действием поля положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – противоположно поля и молекула приобретает небольшой дипольный момент, а сам диэлектрик характеризуется вектором поляризации

(11.6)

В общем случае и у полярных молекул тоже происходит небольшой сдвиг зарядов, который увеличивает степень поляризации диэлектриков. В общем случае зависимость от напряженности поля носит вид функционала, т. е. , но во многих случаях это зависимость можно представить в виде ряда по степеням , в котором каждый последующий член меньше предыдущего.

Диэлектрики с такой зависимостью называются нелинейными и нелинейность их проявляется лишь в сильных полях. В слабых полях зависимость носит линейный характер и может быть записана в виде

æ, (11.7)

Где æ – диэлектрическая восприимчивость.

Влияние поляризации на электрическое поле

Дипольный момент элемента объема в соответствии с (11.5) равен

(11.8)

И совпадает по направлению с напряженностью поля , т. к. æ > 0.

Поэтому напряженность поля, создаваемого диполем, направлена противоположно вектору напряженности электрического поля и ослабляет его.

Следовательно, роль поляризации при этом сводится лишь к разделению положительных и отрицательных зарядов, в результате в объеме и на поверхности диэлектрика образуются поляризационные или связанные заряды. Эти заряды как бы привязаны в различных местах диэлектрика и не могут свободно перемещаться по его объему или поверхности. Они порождают электрическое поле так же как и свободные заряды.

Рассмотрим элемент поверхности внутри неполяризованного диэлектрика. При поляризации электрические заряды приходят в движение сквозь этот элемент поверхности. Вычислим заряд, пересекающий элемент При возникновении поляризованности . Для упрощения формул будем считать, что движутся лишь положительные заряды. Обозначим

— заряд диполя, — плечо диполя, соответствующее поляризованности , — концентрация зарядов. Площадку при возникновении поляризованности пересекут все положительные заряды, которые до движения, обусловленного поляризацией, находились в объеме следовательно

(11.9) Формула (11.9) определяет заряд, который покинет элементарный объем, и тогда в этом объеме останутся заряды противоположного знака, т. е. связанные заряды

(11.10)

Если к (11.9) применить теорему Остраградского-Гаусса, то получим

, (11.11)

. (11.12)

Таким образом, объемные связанные заряды могут возникать только в диэлектриках, где поляризация изменяется от точки к точке, т. е. в неоднородных диэлектриках. Выясним, в каком случае в диэлектрике объемная плотность связанных зарядов равна нулю.

Учитывая (11.6): æ, и используя теорему Гаусса, получим

(11.13)

Объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике равна нулю, если он однородный и в нем не должно быть свободных зарядов с плотностью . В этом случае у диэлектрика могут быть только поверхностные связанные заряды, с поверхностной плотностью .

Граничное условие для .

Граничными условиями называется связь между векторами поля по разные стороны поверхности, разграничивающей две области. Эта поверхность может быть, вообще говоря, просто воображаемой поверхностью в однородной среде. Во всех случаях граничные условия позволяют определить изменение векторов поля при переходе через границу. Они выводятся с помощью уравнений поля.

Пусть имеется граница раздела двух диэлектриков, находящихся во внешнем электрическом поле.

Построим на границе раздела диэлектриков цилиндр. Далее

(11.14)

(11.15)

Полезно заметить, что вакуум также можно рассматривать как диэлектрик, поляризованность которого равна нулю. Формула (11.15) может быть применена к границе между диэлектриком и вакуумом. В этом случае =0 и =, где — нормальная компонента поляризованности диэлектрика.

Сформулируем основную идею учета влияния вещества на электрическое поле, которая была прослежена на примере проводников и диэлектриков, вносимых в это поле, а именно: при наличии внешнего поля вещество само становится источником электрического поля, в результате чего внешнее поле изменяется.

Пример:

Рассмотрим этот процесс в случае образования электрического поля в плоском конденсаторе, пространство между обкладками которого заполнено однородным диэлектриком.

На обкладках конденсатора расположены поверхностные заряды с плотностью . В результате поляризации диэлектрика на границе диэлектрик-проводник образуются связанные заряды, т. е. .

Так как поле у поверхности проводника , то поле внутри диэлектрика , откуда получаем .

С учетом (11.14) поляризованность в проводнике равна нулю

(11.16)

Если ввести величину

æ, (11.17)

То напряженность поля в конденсаторе (11.18)

Таким образом, при наличии диэлектрика поле в конденсаторе уменьшается Раз. Смысл величины : она показывает, во сколько раз напряженность поля в диэлектрике меньше, чем напряженность поля в вакууме.

Электрическое смещение.

Уравнение, дающее дифференциальную формулировку закона Кулона, имеет вид

Т. е. оно показывает, что источником напряженности электрического поля являются свободные заряды. В диэлектриках это уравнение должно быть изменено с учетом того, что в образовании поля участвуют и связанные заряды

(11.19)

Так как , получим

(11.20)

Определим новый вектор

, (11.21)

Который называется вектором смещения. Он не является чисто полевым вектором, ибо учитывает влияние вещества на поле. Для него можно записать уравнение:

, (11.22)

Т. е. источником вектора являются свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается, а поле, связанное со связанными зарядами, уже учтено в векторе .

ææ

, (11.23)

Где определяется (11.17). Для диэлектриков электростатическая теорема Гаусса формулируется для вектора . Так как , то, проинтегрировав обе части по объему И применив теорему Остраградского-Гаусса, получим электростатическую теорему Гаусса для диэлектриков:

. (11.24)

Пример

Дан диэлектрический шар радиуса R, в котором заряд распределен равномерно с объемной плотностью .

Будем рассматривать две области: R<R и R>R

1. R<R

Применяя теорему Гаусса для вектора (11.24) получаем

Напряженность поля найдем из (11.23):

2. R>R

; ;

Функция Непрерывна, а На границе терпит разрыв.

Граничные условия для вектора .

Рассмотрим границу двух диэлектриков. Когда мы получали граничные условия для вектора , мы исходили из уравнения И нашли, что , где — поверхностная плотность заряда на границе двух диэлектриков.

Исходя из уравнения , где — плотность свободных зарядов, можем аналогичным образом получить граничные условия для вектора , т. е.

(11.25),

Где — поверхностная плотность свободных зарядов на границе двух диэлектриков.

Если имеется граница диэлектрик-проводник, то в проводнике, тогда где — поверхностная плотность зарядов, расположенных на проводнике. С учетом определения вектора , получаем