Укажем ещё один способ построения частного решения уравнения 
(1).
Пусть {zi} i=1,2..n – ФСР уравнения L[y]=0 (2)
(3) – общее решение уравнения (2).
Построим решение уравнения (2), удовлетворяющее следующим начальным условиям :
Z = 0, z/ = 0, …, z( n-2) =0, z( n-1) =1 при x = a, где "aÎ(a, b), xÎ(a, b).
Это решение 
(5)
Причём 
, 
, …, 
, 
,
Где 
, (6)
Докажем, что функция
, (7)
Где " x0 Î (a, b).
Является частным решением уравнения (1) с нулевыми начальными условиями, т. е. Y = 0, Y/ = 0, …, Y( n-1) =0, при x = x0.
Найдём значения производных функции Y(x):
, первое слагаемое = 0,
, первое слагаемое = 0, …… (8)
, первое слагаемое = 0,
и 
,
Подставим выражение (8) в уравнение (1):
+……
…+
(9)
Или
,
Получим тождество для " x, x0 Î(a, b).
Итак, 
, x Î(a, b).
(7) –называется формулой Коши для неодноролного уравнения.
Очевидно, что Y(x0) = 0, Y/ (x0)= 0, …, Y( n-1) (x0)=0.
Таким образом 
.
Пример:
– общее решение однородного уравнения.
Найдём j (x, a)
Z=0, z/=1 при x = a.
Þ 
– oбщeе решение неоднородного уравнения.