Пусть на регулярной поверхности , где
задана линия
В натуральной параметризации
и
. Тогда уравнение этой линии можно записать в виде:
.
Так как , то
.
Величина называется Первой квадратичной формой поверхности.
Так как , то:
(1)
Обозначим ,
,
. Тогда (1) примет вид:
.
Так как поверхность регулярная, то . То есть
и
одновременно. не равны нулю. А это означает, что первая квадратичная форма является Положительно определённой. Матрица первой квадратичной формы представлена ниже:
Согласно критерию Сильвестра из данной формулы получаем, что:
,
.
1. Измерение длины линии на поверхности.
Так как , то (используя формулу для вычисления длины линии из 2) имеем:
.
В этой формуле ,
в силу инвариантности формы дифференциалов первого порядка.
2. Измерение углов между линиями.
Пусть Заданы две линии
и
, и пусть дифференциалами этих линий являются
и
. Тогда:
. (2)
Где — угол между этими линиями.
Обозначим:
.
Тогда имеем:
,
,
.
Подставляя в эти три выражения в (2) получим:
.