Пусть на регулярной поверхности 
, где 
задана линия 
В натуральной параметризации 
и 
. Тогда уравнение этой линии можно записать в виде:
.
Так как 
, то 
.
Величина 
называется Первой квадратичной формой поверхности.
Так как 
, то:
(1)
Обозначим 
, 
, 
. Тогда (1) примет вид:
.
Так как поверхность регулярная, то 
. То есть 
и 
одновременно. не равны нулю. А это означает, что первая квадратичная форма является Положительно определённой. Матрица первой квадратичной формы представлена ниже:
Согласно критерию Сильвестра из данной формулы получаем, что:
, 
.
1. Измерение длины линии на поверхности.
Так как 
, то (используя формулу для вычисления длины линии из 2) имеем:
.
В этой формуле 
, 
в силу инвариантности формы дифференциалов первого порядка.
2. Измерение углов между линиями.
Пусть 
Заданы две линии и 
, и пусть дифференциалами этих линий являются 
и 
. Тогда:
. (2)
Где — угол между этими линиями.
Обозначим:
.
Тогда имеем:
,
,
.
Подставляя в эти три выражения в (2) получим:
.