§12. Энергия электростатического поля

Энергия взаимодействия дискретных зарядов.

Если имеются два точечных заряда И , то потенциал точки А , где

— потенциальная энергия в поле заряда .

С другой стороны .

Приравнивая левые и правые части имеем

(12.1)

Эта формула определяет потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов.

Пусть даны две сферы очень малого радиуса, несущие заряды И . Тогда по аналогии с точечными зарядами

(12.2)

Т. е. W’ равна работе сил поля, если один заряд унести от другого в бесконечность.

Перепишем (12.2):

(12.3)

Где — потенциал, созданный вторым зарядом в том месте, где находится первый заряд.

Если эту формулу обобщить на систему зарядов, то

. (12.4)

Полученная формула определяет энергию взаимодействия системы зарядов.

Энергия взаимодействия при непрерывном распределении заряда.

Пусть в элементе объема находится заряд . Для определения энергии взаимодействия всех элементов в объеме V можно использовать формулу (12.4), перейдя в ней от суммы к интегралу:

(12.5)

Где — потенциал, создаваемый всеми зарядами в точке нахождения заряда .

Собственная энергия.

На первый заряд формулы (12.4) и (12.5) кажутся аналогичными, тем более что (12.5) “выведена” из (12.4). Однако между ними существует принципиальное различие. Формула (12.4) учитывает лишь энергию взаимодействия между заряженными шарами, но не учитывает энергию взаимодействия между элементами зарядов, находящихся на каждом шаре. А (12.5) учитывает и первое, и второе.

Учитывая сказанное, энергию взаимодействия зарядов можно записать в виде:

(12.6)

Величина — это энергия заряженных шаров, учитывающая взаимодействие зарядов между собой на каждом шаре. Собственная энергия зависит от законов распределения зарядов шара и значений зарядов. Если имеется уединенный шар, то .

Тогда (12.7)

Это означает, что собственная энергия точечного заряда равна бесконечности.

Но при . Это приводит к серьезным трудностям при использовании модели точечных зарядов.

Плотность энергии электрического поля и энергия электрического поля.

Воспользовавшись уравнением

Запишем (12.5) в виде

Учитывая формулу векторного анализа

(12.8)

Получим:

(12.9)

Применим ко второму интегралу в (12.9) теорему Остроградского-Гаусса и оценим его:

(12.10)

Если в некотором объеме сосредоточены заряды, их плотность равна , то

На далеких расстояниях от зарядов, а мы смотрим поле на значительном расстоянии от объема, можно провести оценку:

т. е. .

Значит при интегрировании по всему объему второй интеграл в (12.9) имеет порядок , значит при удалении поверхности интегрирования на бесконечность, т. е. при Он стремиться к нулю. Учитывая это из (12.9) получаем

, (12.11)

Где интегрирование происходит по всему пространству.

Формула (12.11) и определяет энергию электрического поля. Но эта формула связана с формулой

. (12.12)

Формула (12.12) утверждает, что энергия поля локализована на элементарных зарядах и определяется через них. Эти заряды создают поле в пространстве, а его характеристики – векторы . Энергия поля выражается через них с помощью (12.11). Но и (12.11) и (12.12) количественно дают одинаковый результат. Рассмотрим шар радиуса R с зарядом Q, тогда из (12.12) следует (12.7).

По теореме Гаусса

Тогда , что совпадает с (12.7)

Плотность энергии электрического поля определяется соотношением

W (12.13)

Энергия поля поверхностных зарядов.

Если заряды располагаются не только по объему, но и на поверхности, то энергия в данном случае

(12.14)

Энергия заряженных проводников.

Поскольку на проводниках имеются лишь поверхностные заряды, а сами проводники являются эквипотенциальными телами, то при наличии системы pаряженных шаров

, (12.15)