, (1)
A1, a2, …, an – постоянные вещевтвенные числа, 
Непрерывная в интервале (a, b).
Рассмотрим сначала соответствующие уравнению (1) уравнение 
(2),
(2)
Будем искать уравнение (2), следуя Эйлеру, в виде
(3),
(4)
Подставляя (4) в уравнение (2), получим
или 
(4)
Таким образом получаем
(5)
– называется характеристическим многочленом или характеристическим уравнением.
Случай 1:
Все корни характеристического многочлена l1, l2, …, ln различны и вещественны.
Каждому корню li соответствует частное решение
(i=1..n)
– линейно независимая система функций, т. е. ФСР.
(6) – общее решение уравнения .
Пример:
,
,
– общее решение данного уравнения.
Случай 2:
Среди корней характеристического уравнения есть комплексный корень 
Пусть
, тогда 
,
L3, l4, …, ln – различные и вещественные корни.
(формула Эйлера)
– комплексная функция действительной переменной. Тогда –
, 
– также
Являются решениями уравнения.
Очевидно, что сопряжённый корень не порождает новых решений.
Таким образом, ФСР в данном случае
,
, 
И общее решение имеет вид:
Пример:
,
– характеристическое уравнение,
,
, 
,
– общее решение.
Случай 3:
Среди корней характеристического уравнения есть кратный действительный корень.
Пусть
– корень кратности k.
P(λ1) = 0, P/ (λ1)= 0, …, P( k-1) (λ1)=0, P( k) (λ1)≠0.
Запишем полученное ранее выражение 
(4) и продифференцируем его по λ m раз, используя для правой части формулу Ньютона-Лейбница, а для левой свойства оператора L.
. (9)
(10)
Подставим в уравнение (10) λ = λ1 и используем, что
P(λ1) = 0, P/ (λ1)= 0, …, P( k-1) (λ1)=0.
Получим, что
– решение уравнения (10) при m = 0, 1,…, (k-1).
,
,…,
,
,…
– ФСР.
(11)
(11) – общее решение уравнения (2).
Пример:
,
– характеристическое уравнение,
,
, 
,
– общее решение.
Случай 4:
Характеристическое уравнение имеет комплексный корень кратности k. Тогда оно имеет и сопряжённый комплексный корень. Таким образом, для построения ФСР нужно 2k линейно независимых решений, соответствующих этим кратным сопряжённым комплексным корням.
Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений
, 
, … , 
, получим
,
, … , 
(12)
,
, … , 
.
Таким образом, каждой паре сопряжённых комплексных чисел 
кратности k соответствует 2k линейно независимых решений вида (12).
И общее решение имеет вид:
Пример:
, 
– комплексные решения.
Отделяя вещественные и мнимые части комплексных решений, получим:
– ФСР
– общее решение данного уравнения.