Рассмотрим регулярную поверхность
, заданную уравнением
, где
. Разобьём данную поверхность на элементы
, где
. Обозначим
— диаметр наименьшего шара, в который можно вписать участок
.
Обозначим и назовём его диаметром разбиения.
Выберем на каждом участке точку и проведём через эту точку касательную плоскость к поверхности
.
Обозначим эти плоскости . Ортогональную проекцию участка
на плоскость
обозначим
. Ортогональная проекция — это плоская фигура. Её площадь обозначим
И составим сумму:
, (1)
Где – полная площадь поверхности
.
Площадью назовём предел суммы (1) при
, причём этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения поверхности на участки, ни от выбора точек
.
Теорема: Площадь регулярной поверхности, заданной уравнением , где
может быть вычислена по формуле:
.
Где для регулярной поверхности всегда выполняется равенство .
Доказательство.
Разобьём поверхность на участки , и на каждом участке выберем точки
. Так как поверхность регулярная, то через
можно провести касательную плоскость и выбрать систему координат таким образом, чтобы оси OX и OY лежали в касательной плоскости, точка O совпадала с
, а ось
была перпендикулярна плоскости. Тогда в данной локальной системе координат уравнение участка поверхности
можно записать в параметрическом виде:
.
А теперь спроектируем на касательную плоскость. Получим фигуру
, её уравнения в данной системе координат имеют следующий вид:
,
Где . Площадь этой фигуры:
.
Переходя к координатам , имеем:
,
Где при
. Окончательно получаем:
,
Где — площадь поверхности
. Следовательно, вся площадь
равна:
.
Переходя к пределу, когда получим:
.
Так как (так как
при
) , то последний предел идёт в ноль.
Следовательно, площадь поверхности равна:
,
Что и требовалось доказать.
В 10 мы записали, что
.
Очевидно, что
.
Исходя из этого, получаем:
.
Если поверхность задана в виде , где
, тогда (10)
,
,
. Следовательно, имеем:
.
Функцию Можно представить в векторном виде следующим образом:
.
Вектор нормали к поверхности имеем вид . Запишем направляющие косинусы этого вектора:
,
,
.
Следовательно:
,
Где — угол между нормальным вектором и осью
.
Отсюда следует, что если поверхность задана уравнением , где
, то её площадь можно найти по формуле:
.
Пример.
Найти площадь поверхности , вырезанную цилиндром
. (см. рис. 14).
Найдём производные
и
:
,
.
Тогда:
,
Где .
Осуществим переход к полярным координатам:
,
Где ,
. Область интегрирования
перейдёт в новую область
, причём:
.
Следовательно, имеем:
.