Рассмотрим регулярную поверхность
, заданную уравнением 
, где 
. Разобьём данную поверхность на элементы 
, где 
. Обозначим 
— диаметр наименьшего шара, в который можно вписать участок .
Обозначим 
и назовём его диаметром разбиения.
Выберем на каждом участке точку 
и проведём через эту точку касательную плоскость к поверхности .
Обозначим эти плоскости 
. Ортогональную проекцию участка на плоскость обозначим 
. Ортогональная проекция — это плоская фигура. Её площадь обозначим 
И составим сумму:
, (1)
Где 
– полная площадь поверхности 
.
Площадью назовём предел суммы (1) при 
, причём этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения поверхности на участки, ни от выбора точек .
Теорема: Площадь регулярной поверхности, заданной уравнением , где может быть вычислена по формуле:
.
Где для регулярной поверхности всегда выполняется равенство 
.
Доказательство.
Разобьём поверхность на участки 
, и на каждом участке выберем точки 
. Так как поверхность регулярная, то через можно провести касательную плоскость и выбрать систему координат таким образом, чтобы оси OX и OY лежали в касательной плоскости, точка O совпадала с , а ось 
была перпендикулярна плоскости. Тогда в данной локальной системе координат уравнение участка поверхности можно записать в параметрическом виде:
.
А теперь спроектируем на касательную плоскость. Получим фигуру 
, её уравнения в данной системе координат имеют следующий вид:
,
Где 
. Площадь этой фигуры:
.
Переходя к координатам 
, имеем:
,
Где 
при 
. Окончательно получаем:
,
Где 
— площадь поверхности 
. Следовательно, вся площадь равна:
.
Переходя к пределу, когда получим:
.
Так как 
(так как при 
) , то последний предел идёт в ноль.
Следовательно, площадь поверхности равна:
,
Что и требовалось доказать.
В 10 мы записали, что
.
Очевидно, что
.
Исходя из этого, получаем:
.
Если поверхность задана в виде 
, где 
, тогда (10) 
, 
, 
. Следовательно, имеем:
.
Функцию 
Можно представить в векторном виде следующим образом:
.
Вектор нормали к поверхности имеем вид 
. Запишем направляющие косинусы этого вектора:
, 
, 
.
Следовательно:
,
Где 
— угол между нормальным вектором и осью 
.
Отсюда следует, что если поверхность задана уравнением 
, где 
, то её площадь можно найти по формуле:
.
Пример.
Найти площадь поверхности 
, вырезанную цилиндром 
. (см. рис. 14).
Найдём производные 
и 
:
,
.
Тогда:
,
Где 
.
Осуществим переход к полярным координатам:
,
Где 
, 
. Область интегрирования 
перейдёт в новую область 
, причём:
.
Следовательно, имеем:
.