Регулярная поверхность называется Односторонней, если на ней можно выбрать замкнутую линию, при обходе которой единичный вектор нормали меняет направление на противоположное. Все остальные поверхности называются двухсторонними.
Примеры односторонних поверхностей:
Лист Мёбиуса, бутылка Клейна (у бутылки отрезается дно, и горло вставляется в дно шиворот-навыворот, см. рис. 15).
Примеры двухсторонних поверхностей:
, где 
.
Далее мы будем рассматривать только двухсторонние поверхности.
Рассмотрим двухстороннюю поверхность 
, и будем считать, что она является регулярной. Пусть она помещена в объём стационарно текущей жидкости со скоростью 
, причём:
и 
.
Требуется определить, какое количество жидкости протекает через поверхность в данном направлении за единицу времени.
Разобьём поверхность на элементарные участки 
, площадь которых 
. Обозначим 
— единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности в некоторой точке 
. Будем считать, что в каждой точке скорость течения жидкости равна 
(то есть, вычислена в точке 
). Количество жидкости, протекающее через площадку за единицу времени, численно равно объёму призмы, основанием которой является площадь 
, а ребром – вектор (см. рис. 16).
.
Следовательно, мы получили на поверхности обычную скалярную функцию. Переходя к пределу при 
получаем двойной интеграл:
,
Причём здесь вектор 
зависит от формы поверхности.
Пусть в некоторой области 
определена векторная функция 
:
,
И S – регулярная двухстороння поверхность, содержащаяся в .
Поверхностным интегралом второго рода векторной функции 
, через поверхность S, называют поверхностный интеграл первого рода от функции 
, где — единичный вектор нормали, вычисленный в каждой точке к заданной стороне поверхности.
Пусть поверхность задана в виде 
, где 
.
Правило вычисления поверхностного интеграла второго рода.
Пусть дан поверхностный интеграл второго рода:
, (1)
Где 
, 
, 
— координаты вектора 
. Имеем:
.
Замечание:
Не следует путать область 
(от нем. gebbit) и одноимённый коэффициент.
Метод проектирования.
Пусть поверхность задана неявно, то есть в виде . Рассмотрим в формуле (1) третье слагаемое:
,
Где 
. Теперь осуществим переход от поверхностного интеграла второго рода по поверхности к двойному интегралу по области:
. (2)
Если же 
либо 
, тогда интеграл принимает вид:
,
Либо
.
Замечание.
Для записи поверхностного интеграла второго рода в координатной форме
Используют запись:
.
Важное замечание: Переставлять дифференциалы в такой записи нельзя.
Пример.
Найти поверхностный интеграл 
через внутреннюю сторону сферы 
.
Возьмём верхнюю полусферу: 
. Внешняя нормаль будет иметь острый угол с осью 
(то есть 
). Тогда:
,
Где 
— верхняя сторона сферы.
Нижняя сторона сферы (
) имеет противоположную нормаль, то есть 
:
.