15. Формула Остроградского

Область трёхмерного пространства назовём z-цилиндрической, если она ограничена сверху поверхностью , снизу – поверхностью , где , а сбоку — цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси z (см. рис. 17).

Подобным образом можно определить x-цилиндрические и y-цилиндрические поверхности.

Область назовём Простой, если её можно разбить на конечное множество, как x-цилиндрических, так и y-цилиндрических, так и z-цилиндрических поверхностей.

Теорема Остроградского:

Пусть в простой области , ограниченной поверхностью , определены непрерывные функции , , , имеющие непрерывные частные производные , , в области . Тогда имеет место формула Остроградского:

, (1)

Где нормаль к поверхности Внешняя, и искомая поверхность замкнута (например, шар).

Доказательство.

1-й этап.

Рассмотрим интеграл:

Где — z-цилиндрическая область. Тогда:

, (2)

Где часть поверхности области , задаваемая функцией .

, (3)

Где часть поверхности области , задаваемая функцией .

Обозначим боковую поверхность через , тогда:

(4)

Тогда, складывая (2), (3) и (4), получим:

Таким образом, формула Остроградского для z-цилиндрической поверхности имеет вид:

2-й этап.

Пусть область простая. Тогда её можно разделить на конечное множество z-цилиндрических поверхностей . Имеем:

, (5)

Где — поверхность области .

Поверхности состоят из частей поверхности и поверхностей, которыми разделена область на области . Поделы входят в состав двух поверхностей , причём с разными знаками, следовательно при интегрировании по этим частям знаки интегралов будут противоположными, а модули совпадать, значит при суммировании они взаимно уничтожатся. Следовательно, имеем:

Значит формула (5) справедлива для всякой простой области, ограниченной кусочно-регулярной поверхностью.

3-й этап.

Аналогично доказываются равенства:

(6)

(7)

4-й этап.

Складывая (5),(6),(7), получим формулу (1), что и требовалось доказать.

Замечание.

Формула Остроградского-Гаусса может быть использована для вычисления объёма тела, ограниченного поверхностью (где — регулярная поверхность). Поскольку , то из формулы Остроградского-Гаусса следует: