Этот параграф описывает третье и четвёртое свойства векторного поля.
Пусть — векторное поле, заданное в области
,
— регулярная двухсторонняя поверхность, содержащаяся в
,
— единичный вектор нормали к некоторой стороне поверхности.
Потоком векторного поля через поверхность
в направлении вектора
называется:
.
В 14 мы показали, что если — поле скоростей стационарного течения несжимаемой жидкости, то поток векторного поля
через поверхность
в направлении
определяет количество жидкости, протекающее за единицу времени через поверхность
в направлении
. Пусть поверхность
— замкнута и
— вектор внешней нормали. Если
, то внутри объёма, ограниченного поверхностью
, имеются источники, если
— то имеются стоки.
Дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке
называется:
,
Где — объём тела, ограниченного поверхностью
. Дивергенция обозначается как
.
Гидромеханический смысл дивергенции – это наличие в точке источника или стока и их интенсивность.
Теорема: Пусть векторное поле задано в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда:
,
При условии, что функции имеют соответствующие производные.
Доказательство.
Рассмотрим интеграл . Имеем:
.
Согласно формуле Остроградского получаем:
.
Используя теорему о среднем, имеем:
.
Согласно определению дивергенции получаем:
,
Что и требовалось доказать.
Используя теорему, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в инвариантной форме:
.