Этот параграф описывает третье и четвёртое свойства векторного поля.
Пусть 
— векторное поле, заданное в области 
, 
— регулярная двухсторонняя поверхность, содержащаяся в , 
— единичный вектор нормали к некоторой стороне поверхности.
Потоком векторного поля через поверхность в направлении вектора называется:
.
В 14 мы показали, что если 
— поле скоростей стационарного течения несжимаемой жидкости, то поток векторного поля через поверхность в направлении определяет количество жидкости, протекающее за единицу времени через поверхность в направлении . Пусть поверхность — замкнута и — вектор внешней нормали. Если 
, то внутри объёма, ограниченного поверхностью , имеются источники, если 
— то имеются стоки.
Дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке 
называется:
,
Где 
— объём тела, ограниченного поверхностью . Дивергенция обозначается как 
.
Гидромеханический смысл дивергенции – это наличие в точке источника или стока и их интенсивность.
Теорема: Пусть векторное поле 
задано в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда:
,
При условии, что функции 
имеют соответствующие производные.
Доказательство.
Рассмотрим интеграл 
. Имеем:
.
Согласно формуле Остроградского получаем:
.
Используя теорему о среднем, имеем:
.
Согласно определению дивергенции получаем:
,
Что и требовалось доказать.
Используя теорему, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в инвариантной форме:
.