2. Линии в пространстве | Политех в Сети

Понятие прямая так же как и понятие точки первичны и не определяются. Рассмотрим отображение некоторой точки в трехмерное пространство и обозначим его . Будем говорить, что отображение непрерывно, если , такое, что если , то . Если отображение непрерывно в каждой точке М, то оно непрерывно и на всём множестве М.

Непрерывное отображение отрезка в пространстве называется Линией в пространстве. Также под линией будем понимать образ, полученный при таком отображении. Линии в пространстве удобно описывать в виде , причём если эти векторы откладывать от одной точки. Рассмотрим две линии:

, где , , , и

, где .

В втором случае обход линии совершается 2 раза, то есть это разные линии (разные отображения).

Рассмотрим случай, когда образы двух векторных функций совпадают, то есть , , где , . Эти две линии определяют одну линию, если существует монотонная функция , , , такая что .

Пример.

Пусть даны две линии:, где и , где , то есть:

, .

В силу проведённых выше рассуждений эти линии являются одинаковыми. В таком случае говорят, что линия имеет разную параметризацию. Далее будем требовать, чтобы производная была непрерывна на интервале .

Линию назовем Гладкой, если векторная функция (где ), определяющая эту линию, имеет непрерывную производную во всех точках отрезка .

Всякая гадкая линия, заданная уравнением (где ), имеет конечную дину, которая может быть вычислена по следующей формуле:

Доказательство.

Возьмём в качестве линии совокупность её стягивающих хорд. Тогда: — длина стягивающей хорды, причём точка — точка, в которой касательная параллельна хорде. При суммировании по данного равенства получим искомую формулу, что и требовалось доказать.

Введём функцию . Эта функция имеет производную . По теореме Барроу мы можем найти эту функцию. Она монотонная, поэтому для неё существует обратная, которая тоже будет монотонной , , где , .

Когда в качестве параметра выбрана длина линии ,то говорят, что линия задана в натуральной параметризации, а сам параметр L называется натуральным параметром.

Будем говорить, что линия , заданная уравнением , имеет точку самопересечения (см. рис. 4), если существует , причём такие, что .

В дальнейшем мы будем рассматривать линии, которые имеют конечное число точек самопересечения.

Линия L, заданная уравнением , называется Кусочно-гладкой, если отрезок можно разделить на конечное множество отрезков, на каждом из которых линия будет гладкой.

Линия L, заданная уравнением , называется Регулярной, если она гладкая и . Если линия (т. е. задана в произвольной параметризации) регулярна, то и в натуральной параметризации она так же будет регулярной.