23. Оператор Гамильтона

Рассмотрим прямоугольную систему координат , и вместо векторов , , будем использовать векторы , , .

Введём оператор (обозначим его символом “”(набла)):

Он обладает как векторными, так и дифференциальными свойствами.

оператор (оператор Гамильтона) как дифференциальный оператор, действует на поля, которые стоят справа от него, и не действует на те, которые стоят слева:

.

Если векторное поле можно представить в виде , то получим:

.

Далее для удобства векторные поля будем представлять в виде . Тогда имеем:

,

,

.

Соответственно получаем:

,

,

,

.

Введём обозначение . Тогда получаем:

, .

Пусть . Тогда . Найдём значение :

.

Следовательно . Найдём значение .

. (1)

. (*)

Так как , то из (*) получаем:

.

Из (1) получаем, что

. (2)

Аналогично

. (3)

Подставляя (2) и (3) в (1) и отбрасывая (записываем выражение не для -й компоненты, а сразу для всех компонент) получаем:

.