§24. Энергия магнитного поля

Энергия магнитного поля изолированного контура с током.

Для того чтобы в неподвижном контуре создать электрический ток, необходимо включить в цепь источник сторонних э. д.с. Если в цепи течет постоянный ток, то энергия, поступающая в цепь из источника сторонних э. д.с., расходуется на выделение джоулевой теплоты и на совершение работы в потребителе энергии. Индукция магнитного поля, как и его энергия, при этом неизменна. Индукция изменяется с изменением силы тока. Следовательно, источник сторонних э. д.с. передает в цепь энергию на создание магнитного поля в процессе увеличения силы тока. Вычислив работу, совершаемую источником сторонних э. д.с. для увеличения силы тока от нуля до конечного значения, получим энергию магнитного поля, которое связано с этим током.

При изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром, в контуре возникает э. д.с. индукции в соответствии с законом (23.1). У изолированного контура поток электромагнитной индукции Ф возникает за счет магнитного поля, создаваемого током в контуре. При увеличении силы тока возрастает поток Ф, охватываемый током, и в контуре по закону Фарадея возникает э. д.с. индукции, которая в данном случае называется э. д.с. самоиндукции. По правилу Ленца, она направлена так, что препятствует увеличению силы тока. Для увеличения силы тока необходимо, чтобы сторонняя э. д.с. источника была направлена противоположно э. д.с. самоиндукции и равна ей. Таким образом, в процессе роста силы тока источник сторонних э. д.с. совершает работу против э. д.с. самоиндукции. За промежуток времени dt по контуру проходит количество электричества и, следовательно, против э. д.с. самоиндукции источник сторонних сил в течение совершает работу

, (24.1)

Где для использована формула (23.1) . При совершении этой работы происходит превращение энергии источника сторонних э. д.с. в энергию магнитного поля тока в контуре. Поэтому изменение энергии магнитного поля связано с изменением потока соотношением

(24.2)

Индукция магнитного поля тока в соответствии с законом Био-Савара линейно зависит от силы тока. Поэтому при переменной силе тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий остается прежней, а индукция в каждой точке растет пропорционально силе тока. А это означает, что поток магнитной индукции Ф сквозь фиксированную неподвижную площадь также пропорционален силе тока, и поэтому

(24.3)

Где L – постоянный коэффициент пропорциональности, не зависящий от силы тока и индукции магнитного поля. Этот коэффициент называется индуктивностью контура.

Подставляя обе части (24.3) в (24.2), находим

(24.4)

Интегрируя обе части (24.4) от до некоторого значения I , получаем формулу

, (24.5)

Которая определяет энергию магнитного поля, создаваемого током силы I, текущим по контуру с индуктивностью L.

Это и есть формула, определяющая энергию магнитного поля, созданного током , текущим по контуру с индуктивностью .

Если есть несколько контуров с током, то происходит взаимовлияние контуров друг на друга с помощью так называемых коэффициентов взаимной индукции , . величины определяет индуктивность каждого поля. При наличии нескольких контуров

. (24.6)

Явление самоиндукции.

Рассмотрим явление возникновения в замкнутом контуре при изменении силы тока в этом контуре.

При замыкании ключа в первом случае (а) лампочка мгновенно достигает максимальной яркости и далее горит с постоянным накалом. При размыкании ключа лампочка мгновенно гаснет. Во втором случае (б), где вместо сопротивления включена катушка индуктивности, при замыкании ключа лампочка медленно набирает яркость, а при размыкании гаснет постепенно. Это связано с явлением электромагнитной индукции. Действительно, при замыкании ключа ток нарастает, значит , следовательно , , т. е. в цепи имеется две э. д.с.: , т. е. препятствует нарастанию тока. При размыкании ключа ток в контуре начинает уменьшаться , а значит , , , т. е. поддерживает уменьшающийся ток. С учетом (24.3)

(24.7)

Включение и выключение постоянной э. д.с. в цепи с сопротивлением и индуктивностью.

Если в момент в цепь (рис. б) включается источник сторонней э. д.с. постоянной величины, например, батарея, то сила тока I в цепи начинает расти. Однако за счет роста индукции поля в контуре возникает э. д.с. самоиндукции, действующая противоположно сторонней э. д.с. В результате рост силы тока в цепи замедляется. Для каждого момента времени соблюдается закон Ома, который с учетом (24.7) записывается в виде уравнения

, (24.8)

Где — полное сопротивление в цепи (включая внутреннее сопротивление источника). Это уравнение необходимо решить при начальном условии . Говоря о том, что в каждый момент соблюдается закон Ома, мы предполагаем, что сила тока во всех участках цепи одна и та же, т. е. ток квазистационарен. Решение уравнения (24.8) элементарно

(24.9)

Ток нарастает и установившееся значение силы тока , соответствующее закону Ома для постоянного тока, достигается лишь в смысле предела при бесконечном времени. Учитывая экспоненциальную зависимость силы тока от времени, можно как обычно за время нарастания силы тока в цепи принять такое значение , при котором показатель экспоненты обращается в минус единицу, т. е.

(24.10)

При большой индуктивности в цепи нарастание силы тока происходит медленно. Например, если в цепь включить большую катушку индуктивности и лампу накаливания, то после замыкания цепи проходит значительный промежуток времени, в течение которого лампа разгорается до своего полного постоянного накала.

При выключении постоянного источника сторонних э. д.с. например, закоротив его, можно наблюдать, что сила тока не падает мгновенно до нуля, а уменьшается постепенно. Уравнение для силы тока в этом случае, очевидно, имеет вид

(24.11)

и решается при начальном условии

(24.12)

Время убывания силы тока дается той же формулой (24.10). При достаточно больших индуктивностях после выключения сторонней э. д.с. лампа накаливания в цепи гаснет лишь постепенно в течение заметного промежутка времени. Электродвижущей силой, которая обеспечивает существование тока в цепи в течение этого промежутка времени, является электродвижущая сила самоиндукции, а источником энергии – энергия магнитного поля катушки индуктивности.

Плотность энергии магнитного поля.

Формула (24.5) определяет энергию магнитного поля через ток. Найдем другую формулу, описывающую энергию магнитного поля через его характеристики, т. е. через индукцию и напряженность.

, но , т. е. . Если перейти в этой формуле от линейных токов к объемным токам, то . Преобразуем подынтегральное выражение. Для этого рассмотрим выражение . Тогда мы найдем . После подстановки этого выражения найдем, что

. (24.13)

Но . Оценим второе слагаемое в (24.13). Пусть токи находятся в одной области пространства, а энергию рассматриваем в удаленных областях пространства. Чтобы оценить интеграл при больших значениях r, учтем, что, векторный потенциал пропорционален , т. е. . Напряженность магнитного поля, а. Тогда весь интеграл имеет порядок , а значит при переходе в (24.13.) к интегрированию по всему пространству второй интеграл будет равен нулю и тогда энергия магнитного поля будет определяться формулой:

(24.14)

Формула (24.14) предполагает, что магнитное поле «размазано» по пространству. Плотность энергии магнитного поля:

W (24.15)

В заключение отметим, что формула (24.5) предполагает, что энергия магнитного поля “локализована” в токе, а формула (24.15) – что эта энергия заполняет все пространство.