25. Ортогональные криволинейные системы координат

Будем говорить, что в трёхмерном пространстве задана некоторая система координат, если между точками пространства и упорядоченными тройками чисел () (где эти числа изменяются в определенных пределах) установлено взаимно однозначное соответствие. Предположим, что в этом пространстве задана прямоугольная система координат и известна связь между координатами , , и , , , то есть:

Где .

Если мы зафиксируем координаты и , и будем менять координату в допустимых для неё пределах, то мы получим координатную линию . Её радиус вектор имеет следующий вид:

Где , , — орты прямоугольной системы координат. Точно так же определяются координатные линии и .

Через каждую точку трехмерного пространства проходит три координатные линии. Если в каждой точке некоторой системы координат координатные линии взаимно перпендикулярны, то такая система называется ортогональной. Далее будем рассматривать только ортогональные системы координат.

Если зафиксировать координату , а позволить изменяться и , то получим координатную поверхность , заполненную координатными линиями и . Такую координатную поверхность обозначим либо (, ). Аналогично можно определить координатные поверхности , .

Установим связь между изменением координат и длинной отрезка. Для малых отрезков:

либо .

Возьмём некоторую координатную линию . Тогда изменение координаты выразим через изменение координаты :

Если приращение — малое, то равно линейной части приращения. Тогда:

Получим, что дифференциал дуги координатной линии будет иметь вид:

. (1)

Обозначим . Этот коэффициент называется Коэффициентом Ламе (Ламэ, Ляме).

Подставляя в (1) коэффициент Ламе, получим:

, (2)

Из этой формулы следует, что имеет смысл коэффициента пропорциональности между малым изменением координаты и длины дуги координатной линии.

Обозначим бесконечно малый прямоугольник на координатной поверхности (), вырезанный координатными линиями (см. рис. 24). Его площадь обозначим . Тогда, используя формулу (2), получаем:

. .

Аналогично можно получить формулу для двух произвольных координатных линий, то есть в общем случае:

Где .

Рассмотрим бесконечно малый параллелепипед, вырезанный координатными плоскостями. Подобно рассуждениям в рассмотренном выше случае, объём этого параллелепипеда равен:

. (3)

Обозначим радиус-вектор одной из вершин параллелепипеда:

Пусть векторы , , — касательные к координатным линиям , , соответственно. Тогда — сторона параллелепипеда (см. рис. 25), и из (3) получаем:

В данном выражении в скобках стоит смешанное произведение трёх векторов. Тогда:

. (4)

Из выражений (3) и (4) получаем выражение для коэффициентов Ламе:

Примеры:

1) Цилиндрическая система координат.

Где , , .

Найдём координатные линии данной системы координат.

А) Координатная линия:

В результате мы получили луч, выходящий из оси и лежащий в плоскости, пересекающей ось в точке и параллельной плоскости (см. рис. 26).

Б) Координатная линия :

В результате мы получили окружность радиуса , параллельную плоскости , и лежащую в плоскости, пересекающей ось в точке и параллельной плоскости (см. рис. 27).