1. Градиент.
По определению градиент – это вектор. Найдём проекции этого вектора на некоторый локальный базис. Обозначим 
, 
, 
— касательные единичные векторы к координатным линиям 
, 
, 
, причём 
.
.
Очевидно, что 
— есть производная функции 
. Следовательно, имеем:
.
Таким образом, мы получили выражение для градиента в криволинейной системе координат:
.
2. Дивергенция.
По определению дивергенция есть:
,
Где 
— объём тела, ограниченного поверхностью 
. Возьмём в качестве поверхности участки координатных поверхностей, ограничивающие бесконечно малый параллелепипед, одной из вершин которого является точка 
(см. рис. 32). В данном случае 
. (1) Вершины параллелепипеда имеют координаты:
, 
, 
, 
, 
, 
.
Обозначим единичные векторы — касательные к координатным линиям в точке — 
, 
, 
. Поток векторного поля через грань 
равен:
,
Где 
, а нормальный вектор 
равен 
.
Следовательно:
. (1`)
Поток векторного поля через противоположную грань 
:
,
Где 
. Следовательно, получаем:
. (2)
Суммируя (1`) и (2) получаем:
.
(3)
— это поток векторного поля через две противоположные грани и .
Аналогично можно получить поток векторного поля через грани 
и 
:
. (4)
Поток векторного поля через грани и 
:
. (5)
Складывая выражения (3), (4), (5) получаем поток векторного поля через всю поверхность параллелепипеда:
. (6)
Согласно определению дивергенции (19) имеем:
, (7)
То есть, это предел, при котором поверхность 
стягивается в точку 
. Подставляя (1`), (6) в (7) получаем:
.
Окончательно получаем:
. (8)
3. Оператор Лапласа.
Из 24 имеем:
.
Если 
, то:
, 
, 
. (9)
Подставляя (9) в (8), получаем:
. (10)
Оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
В 25 мы доказали, что для цилиндрической системы координат 
, 
, 
. Согласно выражению (10) получаем:
.
Оператор Лапласа в сферической системе координат.
Аналогично предыдущему случаю имеем:
, 
, 
,
,
.