Если в уравнении 
, при 
(1)
1. 
определена и непрерывна в области 
и, следовательно, ограничена в области 
, т. е. 
.
2. Удовлетворяет в области условию Липшица по 
:
, 
(2)
, то существует единственное решение 
, удовлетворяющее условию , а в промежутке 
, где 
и решение это определено и непрерывно дифференцируемо для 
из отрезка и не выходит за пределы области при этих значениях .
Поясним некоторые условия теоремы
Пикара.
1. 
2. На практике условие Липшица заменяется 
. Из этого условия следует условие Липшица.
Обратно, из условия Липшица не следует условие .
Примером может служить функция 
. Производная 
Не принадлежит в 
.
Доказательство:
Предположим, что существует решение с условием . Тогда 
(3)
Уравнение (1) и (3) равносильны. Решение (1) является решением (3).
Если найдено решение интегрального уравнения (3), тем самым найдено решение уравнения (1).
Доказывать существование и единственность решения уравнения (1) при заданных условиях будем методом приближений.
За нулевые приближения возьмём ,
(4)
- Покажем, что все члены функциональной последовательности (4) определены и непрерывны на отрезке
и не выходят за пределы области 
.
Определена и непрерывна,
Предположим, что 
определена и непрерывна на промежутках , .
даже дифференцируемая функция (интеграл с верхним переменным пределом).
Таким образом, все члены последовательности (4) определены и непрерывны в промежутках и не выходят при этих значениях за пределы области .
- Докажем равномерную сходимость функциональной последовательности (4) в промежутке
.
Вместо (4) будем рассматривать функциональный ряд:
(5)
Сходимость последовательности (4) равносильна сходимости ряда (5), так как частные суммы ряда (5) являются 
.
Оценим разность 
{применяем условие Липшица} 
,
Учитывая 
.
Аналогично 
И так далее.
(6)
Предполагая, что это утверждение верно для 
доказывается (6).
Члены ряда для всех значений 
из промежутка не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов следующего ряда с положительными членами:
(7)
Ряд (7) сходится. Сумма этого ряда равна 
(8)
Согласно признаку Ваейрштрасса ряд (5) сходится равномерно в промежутке .
Пусть 
сумма ряда (5) или предельная функция последовательности (4).
Тогда по теореме непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда функция также непрерывна в промежутке .
- Покажем, что функция
является решение интегрального уравнения (3) и её значения не выходят за пределы области при .
Так как 
, то переходя к пределу при 
получим:
.
В формуле (4) перейдём к пределу при :
Докажем, что 
Для 
из промежутка
Итак, 
- Докажем, что получено решение единственное.
Предположим, что существует ещё одно решение , удовлетворяющее тем же начальным условиям, которое определено и непрерывно в промежутке и не выходит при этих значениях 
За пределы области .
Итак, 
Оценим
,
и т. д.
(9)
Устремляем в формуле (9): 
Откуда
.
Замечание:
1. Формула (9) даёт оценку погрешности нашего приближения к решению .
2. Формула (8) даёт оценку решения 
.
3. За нулевое приближение не обязательно брать 
. Можно брать любую непрерывно дифференцируемую функцию, значения которой не выходят за пределы области .
Пример:
, 
, 
.
