Если в уравнении , при
(1)
1. определена и непрерывна в области
и, следовательно, ограничена в области
, т. е.
.
2. Удовлетворяет в области условию Липшица по
:
,
(2)
, то существует единственное решение
, удовлетворяющее условию
, а в промежутке
, где
и решение это определено и непрерывно дифференцируемо для
из отрезка
и не выходит за пределы области
при этих значениях
.
Поясним некоторые условия теоремы
Пикара.
1.
2. На практике условие Липшица заменяется . Из этого условия следует условие Липшица.
Обратно, из условия Липшица не следует условие .
Примером может служить функция . Производная
Не принадлежит в
.
Доказательство:
Предположим, что существует решение с условием
. Тогда
(3)
Уравнение (1) и (3) равносильны. Решение (1) является решением (3).
Если найдено решение интегрального уравнения (3), тем самым найдено решение уравнения (1).
Доказывать существование и единственность решения уравнения (1) при заданных условиях будем методом приближений.
За нулевые приближения возьмём ,
(4)
- Покажем, что все члены функциональной последовательности (4) определены и непрерывны на отрезке
и не выходят за пределы области
.
Определена и непрерывна,
Предположим, что
определена и непрерывна на промежутках
,
.
даже дифференцируемая функция (интеграл с верхним переменным пределом).
Таким образом, все члены последовательности (4) определены и непрерывны в промежутках и не выходят при этих значениях за пределы области
.
- Докажем равномерную сходимость функциональной последовательности (4) в промежутке
.
Вместо (4) будем рассматривать функциональный ряд:
(5)
Сходимость последовательности (4) равносильна сходимости ряда (5), так как частные суммы ряда (5) являются .
Оценим разность {применяем условие Липшица}
,
Учитывая .
Аналогично
И так далее.
(6)
Предполагая, что это утверждение верно для доказывается (6).
Члены ряда для всех значений из промежутка
не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов следующего ряда с положительными членами:
(7)
Ряд (7) сходится. Сумма этого ряда равна (8)
Согласно признаку Ваейрштрасса ряд (5) сходится равномерно в промежутке .
Пусть сумма ряда (5) или предельная функция последовательности (4).
Тогда по теореме непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда функция также непрерывна в промежутке
.
- Покажем, что функция
является решение интегрального уравнения (3) и её значения не выходят за пределы области
при
.
Так как , то переходя к пределу при
получим:
.
В формуле (4) перейдём к пределу при :
Докажем, что
Для из промежутка
Итак,
- Докажем, что получено решение единственное.
Предположим, что существует ещё одно решение , удовлетворяющее тем же начальным условиям, которое определено и непрерывно в промежутке
и не выходит при этих значениях
За пределы области
.
Итак,
Оценим
,
и т. д.
(9)
Устремляем в формуле (9):
Откуда.
Замечание:
1. Формула (9) даёт оценку погрешности нашего приближения к решению .
2. Формула (8) даёт оценку решения .
3. За нулевое приближение не обязательно брать . Можно брать любую непрерывно дифференцируемую функцию, значения которой не выходят за пределы области
.
Пример:
,
,
.