Лемма. Для всякой кусочно-непрерывной функции 
на отрезке 
справедливы следующие соотношения:
, (1)
. (2)
Доказательство.
Возьмём произвольный отрезок 
и оценим его следующим интегралом:
, (3)
Где 
.
Далее провёдем доказательство только выражения (1), доказательство же (2) производится аналогично.
Разобьём отрезок точками 
и обозначим 
. Следовательно, получаем:
.
Оценим полученный интеграл, предположив сначала, что функция непрерывна на отрезке :
.
Согласно введённому обозначению, величина 
неотрицательна. Следовательно, имеем:
.
Так как 
и, учитывая неравенство (3), имеем:
.
Обозначим 
(то есть колебание функции на отрезке 
), 
. Следовательно, получаем:
. (4)
Так как функция — непрерывна на отрезке , то отрезок можно разделить таким образом, чтобы для любого 
можно было найти такое 
, что для любого 
выполнялось следующее неравенство: 
. При таком разбиении отрезка 
. Выберем 
на столько большим, чтобы 
. Следовательно, при таком выборе и из (4) получаем:
.
Отсюда следует соотношение (1).
Таким образом, мы доказали соотношение (1) для непрерывной функции .
Если функция кусочно-непрерывная на отрезке , то отрезок можно разделить точками 
так, что на интервалах 
функция будет непрерывна. Поэтому:
.
Согласно выше доказанному, 
где 
. Следовательно:
,
Что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Коэффициенты Фурье 
и 
, так как 
, 
.
Следствие 2 (Принцип локализации).
Пусть функция 
— 
-периодическая и кусочно-непрерывная. Тогда n-ная частная сумма ряда Фурье может быть представлена интегралом Дирихле:
. (5)
Доказательство.
Возьмём достаточно малое 
. Тогда выражение (5) можно записать в виде:
.
Рассмотрим второй интеграл в данном выражении. Подынтегральная функция 
для 
является кусочно-непрерывной (как сумма двух кусочно-непрерывных функций). Следовательно:
.
Это выражение означает, что на сумму ряда Фурье в точке 
влияет только интеграл 
. То есть, из проведённых рассуждений следует Принцип локализации: Поведение ряда Фурье в точке зависит от значений функции из сколь угодно малой окрестности этой точки.