Интерференционная картина, получаемая с помощью плоскопараллельной пластинки
Рассмотрим сначала идеализированный случай, когда плоскопараллельная пластинка из прозрачного изотропного материала освещается точечным источником монохроматического света.
Р и с. 3.15 Р и с. 3.16
От точечного источника S в любую точку P могут попадать, вообще говоря, только два луча — один, отразившийся от верхней поверхности пластинки, и другой, отразившийся от нижней ее поверхности (рис. 3.15). Отсюда следует, что в случае точечного монохроматического источника света каждая точка пространства характеризуется вполне определенной разностью хода приходящих в нее отраженных лучей. Эти лучи, интерферируя, образуют устойчивую во времени интерференционную картину, которая должна наблюдаться в любой области пространства. Про соответствующие полосы интерференции говорят, что они не локализованы (или локализованы всюду).
При увеличении размеров источника в направлении, параллельном плоскости SNP, интерференционные полосы становятся менее четкими. Важным исключением является случай, когда точка P находится в бесконечности, а наблюдение интерференционной картины ведется либо глазом, аккомодированным на бесконечность, либо в фокальной плоскости объектива (рис. 3.16). В этих условиях оба луча, идущих от S к P, а именно лучи SANP и SABCEP, происходят от одного падающего луча, и после прохождения пластинки параллельны. Оптическая разность хода между ними равна:
,
Где N2 и N1 — показатели преломления пластинки и окружающей среды,
N — основание перпендикуляра, опущенного из С. Фокальная плоскость объектива и параллельная ей плоскость NC являются сопряженными, и линза не вносит между лучами дополнительной разности хода.
Если H — толщина пластины, а J1 и J2 — углы падения и преломления на верхней поверхности, то
,
.
Из предыдущих формул, с учетом закона преломления
Соответствующая разность фаз равна: 
Где L0 — длина волны в вакууме.
Следует также учитывать изменение фазы на P, которое, согласно формулам Френеля, происходит при каждом отражении от более плотной среды (мы рассматриваем только электрическую компоненту поля волны). Поэтому полная разность фаз в точке P равна:
Угол J1, от значения которого зависит разность фаз, определяется только положением точки P в фокальной плоскости объектива, следовательно, разность фаз D не зависит от положения источника S. Отсюда вытекает, что при использовании протяженного источника полосы оказываются столь же отчетливыми, как и с точечным источником. Но так как это справедливо только для определенной плоскости наблюдения, то про такие полосы говорят, что они Локализованы, и в данном случае — локализованы в бесконечности (или в фокальной плоскости объектива).
Если интенсивности рассматриваемых когерентных лучей обозначить соответственно I1 и I2, то полная интенсивность I в точке P определится соотношением:
Откуда находим, что светлые полосы расположены при D = 2MP или
А темные полосы — при D = (2M + 1)P или
Заданная интерференционная полоса характеризуется постоянством величины J2 (а значит и J1) и, следовательно, создается светом, падающим на пластинку под каким-то определенным углом. Поэтому такие полосы часто называют Полосами равного наклона.
Если ось объектива нормальна к пластине, то при отражении света, близком к нормальному, полосы имеют вид концентрических колец с центром в фокусе. Порядок интерференции максимален в центре картины, где его величина M0 определяется соотношением:
.
Мы рассматриваем пока только свет, отраженный от пластинки, но подобные рассуждения применимы и для света, прошедшего сквозь пластинку. В этом случае (рис. 3.17) в точку P фокальной плоскости объектива приходят от источника S два луча: один, прошедший без отражений, и другой — после двух внутренних отражений.
Р и с. 3.17
Оптическую разность хода этих лучей находят таким же образом, как и при выводе формулы, т. е.
,
А значит соответствующая разность фаз равна:
Однако, дополнительная разность фаз, вызванная отражением, здесь отсутствует, так как оба внутренних отражения происходят в одинаковых условиях. Интерференционная картина, создаваемая протяженным источником, и в этом случае локализована в бесконечности.
Сравнивая и, видим, что картины в проходящем и отраженном свете будут дополнительными, т. е. светлые полосы одной и темные полосы другой будут находиться на одном и том же угловом расстоянии относительно нормали к пластинке. Кроме того, если отражательная способность R поверхности пластинки мала (например, на границе стекло-воздух при нормальном падении она примерно равна 0,04), то интенсивности двух интерферирующих лучей, прошедших сквозь пластинку, очень сильно отличаются друг от друга (I1/I2 @ 1/R2~600), поэтому различие в интенсивности максимумов и минимумов (см. оказывается малым, а контрастность (видность) полос — низкой.
Наше предыдущее рассуждение было не вполне строгим. Так как мы пренебрегли многократностью внутренних отражений в пластинке. В действительности точки P достигает не две, как мы предполагали, а целый ряд пучков, идущих от S (лучи 3, 4 и т. д. на рис. 3.16 или 3.17).
Но если отражательная способность на поверхности пластинки мала, то наше предположение вполне удовлетворительно, так как пучки после первых двух отражений имеют ничтожную интенсивность. При значительной отражательной способности многократные отражения сильно изменяют распределение интенсивности в полосах, но положение полос, т. е. максимумов и минимумов, точно определяется формулами и.
Интерференционная картина, получаемая с помощью пластинки переменной толщины
Допустим теперь, что точечный источник S монохроматического света освещает прозрачную пластинку или пленку с плоскими, но не обязательно параллельными отражающими поверхностями (рис. 3.18).
Р и с. 3.18
Пренебрегая многократными отражениями, можно сказать, что в каждую точку P, находящуюся с той же стороны пластинки, что и источник, приходят опять только два луча, исходящие от S, а именно SAP и SBCDP, следовательно, в этой области интерференционная картина от точечного источника не локализована.
Оптическая разность хода между двумя путями от S до P равна
,
Где N1 и N2 — соответственно показатели преломления пластинки и окружающей среды. Точную величину D трудно вычислить, но если пластинка достаточно тонкая, то точки B, A, D находятся на очень малом расстоянии друг от друга, и значит
Где AN1 и AN2 — перпендикуляры к BC и CD. С учетом и имеем
.
Кроме того, если угол между поверхностями пластинки достаточно мал, то
.
Здесь N1¢ и N2¢ — основание перпендикуляров, опущенных из Е на ВС и CD, а точка Е – пересечение верхней поверхности с нормалью к нижней поверхности в точке С. Но
,
Где H = CE — толщина пластинки вблизи точки С, измеренная по нормали к нижней поверхности; J2 — угол отражения на внутренней поверхности пластинки. Следовательно, для тонкой пластинки, мало отличающейся от плоскопараллельной, можно написать, пользуясь последними соотношениями,
,
А соответствующая разность фаз в точке P равна
Величина D зависит от положения P, но она однозначно определена для всех P, так что интерференционные полосы, являющиеся геометрическим местом точек, для которых D Постоянна, образуются в любой плоскости той области, где встречаются оба луча от S. Мы говорим про такие полосы, что они не локализованы (или локализованы всюду). Они наблюдаются всегда с точечным источником, а их контрастность зависит только от относительной интенсивности интерферирующих пучков.
В общем случае для данной точки P оба параметра H и J2, определяющие разность фаз, зависят от положения источника S, и даже при небольшом увеличении размеров источника интерференционные полосы становятся менее четкими. Можно предположить, что такой источник состоит из некогерентных точечных источников, каждый из которых создает нелокализованную интерференционную картину.
Тогда в каждой точке полная интенсивность равна сумме интенсивностей таких элементарных картин. Если в точке P разность фаз излучения от различных точек протяженного источника неодинакова, то элементарные картины смещены друг относительно друга в окрестности P и видность полос в точке P меньше, чем в случае точечного источника. Взаимное смещение растет по мере увеличения размеров источника, но зависит от положения P. Таким образом, хотя мы имеем дело с протяженным источником, видность полос в некоторых точках P может оставаться такой же (или почти такой же), как и в случае точечного источника, тогда как в другом месте она упадет практически до нуля. Такие полосы характерны для протяженного источника и называются Локализованными. Можно рассмотреть частный случай, когда точка P находится в пластине, а наблюдение ведется с помощью микроскопа, сфокусированного на пластинку, или сам глаз аккомодируется на нее. Тогда H практически одинакова для всех пар лучей от протяженного источника, приходящих в точку P, сопряженную с P (рис. 3.19), и различие величин D в точке P вызывается главным образом различием значений cosJ2. Если интервал изменений cosJ2 достаточно мал, то интервал значений величин D в точке P много меньше 2P даже с источником значительных размеров, и полосы видны отчетливо. Очевидно, что они локализованы в пленке и локализация возникает как следствие использования протяженного источника.
Практически условие малости интервала изменений cosJ2 можно выполнить при наблюдении в направлении, близком к нормальному, или при ограничении входного зрачка диаграммой D, хотя зрачок невооруженного глаза и сам по себе может быть достаточно мал.
Р и с. 3.19
Учитывая изменение фазы на P при отражении на одной из поверхностей пластинки, получим из и, что в точке P будет находиться максимум интенсивности, если разность фаз кратна 2P, или, что эквивалентно, при выполнении условия
И минимумы интенсивности — при
, M = 0,1,2…,
Где 
— среднее значение для тех точек источника, свет от которых доходит в P.
Величина Hn2, присутствующая в последних соотношениях, представляет собой оптическую толщину пластинки в точке P, и если наше приближение остается в силе, то интерференционный эффект в P не зависит от толщины пластинки в других местах. Отсюда следует, что соотношения, остаются справедливыми даже при неплоских поверхностях пластинки при условии, что угол между ними остается малым. Тогда если достаточно постоянен, то интерференционные полосы соответствуют совокупности мест пленки, где оптические толщины одинаковы. По этой же причине такие полосы называют Полосами равной толщины. Такие полосы можно наблюдать в тонкой воздушной прослойке между отражающими поверхностями двух прозрачных пластинок, когда направление наблюдения близко к нормальному, 
И условие минимума примет вид:
,
Т. е. темные полосы пройдут в тех местах прослойки, толщина которых удовлетворяет условию 
, M = 0, 1, 2, …, где 
— длина волны в воздухе.
Таким образом, полосы вырисовывают контуры слоев равной толщины. Если толщина слоя всюду постоянна, интенсивность по всей его поверхности одинакова. Это широко используется для контроля качества оптических поверхностей.
При клиновидной воздушной прослойке между плоскими поверхностями полосы будут проходить параллельно ребру клина на одинаковом расстоянии друг от друга. Линейное расстояние между соседними светлыми или темными полосами равно L/2Q, где Q — угол при вершине клина. Таким способом легко измерять углы порядка 0,1¢ и меньше, а также обнаруживать дефекты поверхности с точностью, недоступной другим методам (0,1L и менее).
Кольца Ньютона являются классическим примером интерференционных полос равной толщины. Роль тонкой пластинки переменной толщины, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между плоскопараллельной пластинкой и выпуклой поверхностью плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны, соприкасающейся с пластинкой. Чтобы наблюдать много колец, надо пользоваться светом сравнительно высокой монохроматичности.
Интерференционная картина, локализованная в пленке, видна также и в проходящем свете. Как и в случае плоскопараллельной пластинки, картины в отраженном и прошедшем свете дополнительны. Т. е. светлые полосы одной появляются в тех же местах пленки, что и темные полосы другой. При использовании слабо отражающих поверхностей полосы в проходящем свете видны плохо вследствие значительного неравенства интенсивностей интерферирующих пучков.