Функция 
называется Кусочно-дифференцируемой на отрезке 
, если она кусочно-непрерывная, и при этом в каждой точке непрерывности существуют право- и левосторонние производные, при чём производная функция имеет конечное число разрывов первого рода.
Теорема. Пусть функция 
-периодическая и кусочно-дифференцируемая на отрезке 
. Тогда ряд Фурье функции сходится в каждой точке, и его сумма равна:
.
Доказательство.
Рассмотрим функцию 
. Её ряд Фурье равен единице. Поэтому и любая частичная сумма этого ряда также равна единице. Следовательно, интеграл Дирихле имеет вид:
.
Очевидно, что 
. Следовательно, для любого 
интеграл Дирихле будет равен единице:
(1)
Умножая (1) на 
, получаем:
(2)
Вычитая (2) из n-ной частичной суммы (выражение (5) из 29) ряда Фурье функции , получаем:
,
Где 
. (3)
Функция 
является кусочно-непрерывной на полуинтервале 
, так как в числителе функция при 
кусочно-непрерывная, а в знаменателе 
только при 
. Исследуем поведение функции в этой точке. Умножая и деля выражение (3) на 
, имеем:
.
Рассмотрим поведение функции при 
. Имеем:
,
,
.
Доопределив функцию в точке значением 
, мы получим, что функция кусочно-непрерывная на отрезке 
. Тогда из основной леммы следует, что:
.
Следовательно, 
, что и требовалось доказать.