Теорема. Если функция 
, заданная на отрезке 
, непрерывна на этом отрезке, кусочно-дифференцируемая и 
, то её ряд Фурье сходится равномерно.
Доказательство.
Согласно теореме Вейерштрассе, функциональный ряд 
(1) будет сходиться, если сходится его числовая мажоранта. Для ряда (1) числовой мажорантой является следующий ряд:
. (2)
Докажем, что ряд (2) сходится. Найдём коэффициенты Фурье 
и 
функции 
, которая является кусочно-непрерывной.
.
Так как , то имеем:
.
Проводя аналогичные преобразования, получаем, что
.
Очевидно, что
,
.
Тогда ряд (2) примет следующий вид:
.
Воспользуемся неравенством, согласно которому среднее арифметическое не превосходит среднее геометрическое:
.
Имеем:
.
Ряд 
сходится по степенному признаку (так как показатель при 
больше 1). Из следствия 2 27 вытекает, что ряд 
сходится. Следовательно, и ряд (2) сходится, а значит и ряд (1) также сходится, причём сходится равномерно, что и требовалось доказать.