Рассмотрим соотношение (4) из параграфа 36:
.
Преобразованием Фурье функции 
назовём следующую функцию 
:
.
Функция 
называется Изображением или Образом функции 
. Зная изображение функции, можно восстановить саму функцию, которую называют Оригиналом или Прообразом. Очевидно, что:
.
Если функция — чётная, то используют cos-преобразование Фурье (это преобразование обозначается как 
), которое легко получается из формулы (5) параграфа 36:
.
Очевидно, что обратное cos-преобразование имеет вид:
.
Для нечётной функции , следуя формуле (6) параграфа 36, можно получить sin-преобразование (это преобразование обозначается как 
) Фурье:
.
Обратное sin-преобразование имеет вид:
.
Замечание.
Если функция задана на интервале 
, то к ней можно применять как cos — так и sin-преобразования Фурье.
Пример 1.
Пусть задана функция 
(где 
, 
). Очевидно, что эта функция абсолютно интегрируема (то есть выполняется неравенство 
). Построим для неё cos-преобразование Фурье:
.
Имеем:
,
Или
.
Следовательно, cos-преобразование Фурье имеет вид:
.
Можно восстановить саму функцию по её изображению:
.
Из данной формулы можно получить следующее равенство:
.
Пример 2.
Пусть задана функция 
.
Найдём её cos-преобразование:
.
Обратное cos-преобразование имеет вид:
.