Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых математических объектов таких, как числа или векторы, и отношения между ними. Многие отношения могут быть выражены при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов с другим объектом или множеством объектов. Абстрактная модель с её объектами произвольной природы определяется непротиворечивым набором правил, вводящих операции, которыми можно пользоваться, и устанавливающих общее отношение между из результатами (например, определённое аксиоматически линейное пространство). Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложениях и умножения чисел).
Тензорное исчисление возникло как естественное обобщение векторного и тесно связано с последним. Фактически уже при рассмотрении векторного произведения мы имеем дело с (замаскированными) тензорами специального вида. В качестве конструктивных моделей векторов наиболее часто используется геометрическая (модель полярных или, значительно реже, ламеллярных векторов) и аналитическая, в которой векторы представляются упорядоченными совокупностями действительных или комплексных определяющих чисел (арифметическое векторное пространство 
). Последняя модель наиболее удобна для проведения вычислений, просто хотя бы потому, что она основана на понятии числа. Как известно (и как ещё раз будет показано ниже) эти определяющие числа при преобразовании базиса в преобразуются по линейному однородному закону.
Тензоры могут быть либо построены из векторов путём некоторых операций (как конструктивные объекты, см. 43), либо заданы независимо от векторов системой аксиом. В первом случае очевидно, что если для векторов выбрано представление с помощью систем упорядоченных чисел, то и тензоры будут представляться такими системами. Преобразование векторного базиса в индуцирует тогда некоторый закон преобразования определяющих чисел тензора, зависящий от того, как тот или иной тензор построены из векторов. Законы преобразования для различных тензоров различны, хотя и однотипны, и в этом смысле говорят о трансформационных свойствах тензоров. Трансформационные свойства могут быть положены в основу аксиоматического определения тензоров.
Таким образом, в аналитической модели тензоры можно рассматривать как упорядоченные совокупности чисел с определённым (тензорным) законом их преобразования при преобразовании базиса в . Разумеется, тензоры как объекты полезны только тогда, когда над ними можно производить соответствующие операции. Однако заранее ясно, что в результате выполнения произвольных операций над тензорами можно получить объекты, не обладающие тензорным законом преобразования. Хотя их рассмотрение и не запрещено, более важную роль играют такие операции над тензорами, которые снова приводят к тензорам. Поиск подобных операций – как алгебраических, так и дифференциальных – часто называют основной задачей тензорного исчисления, поскольку относительно таких операций тензорные уравнения заведомо инвариантны, то есть их вид не зависит от выбора базиса в .
Тензоры играют очень важную роль в физике, так как с их помощью выражаются очень многие свойства физических объектов (инертные свойства твёрдых тел, оптические и электрические свойства кристаллов), описываются электромагнитные и гравитационные явления и т. д.