Определение 2:
Приращением или вариацией аргумента
Функционала
называется разность между двумя функциями
, где
меняется произвольно в некотором классе функций.
Определение 3:
Функционал непрерывен при
в смысле близости
Ого порядка, если
такое, что имеет место неравенство
при
,
,
…
.
Функция берётся из класса функций, на котором функционал
определён.
Определение 4:
Функционал называется линейным , если выполняются следующие условия:
1. , где
Постоянная.
2
Например, .
Определение 5:
Если приращение функционала представимо в таком виде, где
Линейный по отношению к
функционал и
при
, то линейная по отношению к
Часть приращения функционала, т. е.
называется вариацией функционала и обозначается
.
Итак, вариация функционала – это главная, линейная по отношению к Часть приращения функционала.
При исследовании функционалов, вариация играет ту же роль, что и производная при исследовании функций.
Вообще говоря, упрощения исследования функционалов дают почти эквивалентное определение вариации функционала.
по
при
, т. е.
.
Действительно, производная от по
при
равна:
.
Так как , а
Если существует вариация в смысле главной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при . Второе определение несколько шире первого, так как не всегда можно выделить главную линейную часть приращения функционала.
Определение 6:
Функционал достигает на кривой
максимума(минимума), если значения функционала
на любой близкой от
кривой, больше(не меньше), чем
, т. е.
.
Если (
) и
только при
, то говорят, что на кривой
достигается строгий максимум (минимум).
Теорема:
Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при
, где
Внутренняя точка область определения функционала, то при
,
.
При одинаковых и
функционал
является функцией от
, которая при
по предположению имеет максимум или минимум. Тогда
или
,
В определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду. Если функционал достигает максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых мал, то максимум или минимум называется сильным.
Если же лишь по отношению к кривым, близким к в смысле близости первого порядка, т. е. ещё мал и
, то максимум или минимум называется слабым.
Замечание:
Если на кривой достигается экстремум, то не только
,
Но и , где
Любое семейство допустимых кривых, причём при
и
функция
должна приращаться в
и
. Эта производная, конечно, не совпадает с вариацией функционала, но обращается в нуль одновременно с
, на кривых, реализующих экстремум функционала, это будет использовано в дальнейшем при исследовании функционалов на экстремум.