Определение 2:
Приращением или вариацией 
аргумента 
Функционала 
называется разность между двумя функциями 
, где меняется произвольно в некотором классе функций.
Определение 3:
Функционал непрерывен при 
в смысле близости 
Ого порядка, если 
такое, что имеет место неравенство
при
,
,
…
.
Функция берётся из класса функций, на котором функционал определён.
Определение 4:
Функционал называется линейным 
, если выполняются следующие условия:
1. 
, где 
Постоянная.
2 
Например, 
.
Определение 5:
Если приращение функционала 
представимо в таком виде, где 
Линейный по отношению к 
функционал и 
при 
, то линейная по отношению к Часть приращения функционала, т. е. 
называется вариацией функционала и обозначается 
.
Итак, вариация функционала – это главная, линейная по отношению к Часть приращения функционала.
При исследовании функционалов, вариация играет ту же роль, что и производная при исследовании функций.
Вообще говоря, упрощения исследования функционалов дают почти эквивалентное определение вариации функционала.
по 
при 
, т. е. 
.
Действительно, производная от по 
при равна:
.
Так как 
, а 
Если существует вариация в смысле главной части приращения функционала, то существует и вариация в смысле производной по параметру при 
. Второе определение несколько шире первого, так как не всегда можно выделить главную линейную часть приращения функционала.
Определение 6:
Функционал 
достигает на кривой 
максимума(минимума), если значения функционала на любой близкой от кривой, больше(не меньше), чем 
, т. е. 
.
Если 
(
) и 
только при 
, то говорят, что на кривой достигается строгий максимум (минимум).
Теорема:
Если функционал , имеющий вариацию, достигает максимума или минимума при , где 
Внутренняя точка область определения функционала, то при , 
.
При одинаковых 
и 
функционал 
является функцией от 
, которая при по предположению имеет максимум или минимум. Тогда 
или
, 
В определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду. Если функционал достигает максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых 
мал, то максимум или минимум называется сильным.
Если же лишь по отношению к кривым, близким к
в смысле близости первого порядка, т. е. ещё мал и 
, то максимум или минимум называется слабым.
Замечание:
Если на кривой 
достигается экстремум, то не только ,
Но и 
, где 
Любое семейство допустимых кривых, причём при и 
функция 
должна приращаться в и 
. Эта производная, конечно, не совпадает с вариацией функционала, но обращается в нуль одновременно с 
, на кривых, реализующих экстремум функционала, это будет использовано в дальнейшем при исследовании функционалов на экстремум.