Если для каждой непрерывной функции ,
, где
Непрерывна на отрезке отрезке
, то
на том же отрезке.
Доказательство:
Предположим, что ,
.
Тогда из непрерывности следует, что существует окретность точки
, где
Сохраняет знак
. Выбрав функцию
, сохраняющую такой же знак в этой окрестности, и равноё нулю вне этой окрестности, получим:
Пришли к противоречию. Следовательно, .
Замечание:
Аналогично доказывается, если непрерывна в области
на плоскости
и
при любом непрерывной в
.