При рассмотрении компонент векторов следует помнить, что базис, относительно которого они определены, выбран произвольно. Поэтому важно знать, как меняются эти компоненты при переходе от одного базиса к другому.
Пусть в 
задан произвольный базис 
(
) и некоторый “новый” базис 
(
). (Новые базисные элементы мы обозначим той же коренной буквой, но новыми индексами, как это принято в тензорном исчислении).
Всякий элемент 
можно разложить по базису в соответствии с формулой (1) 40. То же справедливо и для любого элемента нового базиса Записывая формулу (1) 40, например, для базисного элемента 
, получим:
, (1)
Где 
чисел 
имеют смысл компонент элемента 
относительно старого базиса. Повторяя эту процедуру для остальных 
элементов нового базиса, можем записать:
. (2)
Элемент 
-й строки 
столбца матрицы 
имеет смысл -й компоненты элемента относительно базиса 
. Матрица — невырожденная.
Так как, однако, базисы и вполне равноправны, то можно разложить базисные элементы по базису , то есть записать
, (3)
Где элементы матрицы 
имеют смысл компонент -го элемента старого базиса относительно нового базиса . Соотношения (2) и (3) определяют, как говорят, прямое и обратное преобразования базиса в .
Подставляя (3) в (2) и наоборот, можно показать, что матрицы 
и 
взаимно обратны, то есть выполняются соотношения:
, 
. (4)
Рассмотрим произвольный элемент , компоненты которого относительно базиса суть 
, — 
. Как они связаны между собой? Поскольку сам элемент не зависит от выбора системы координат в , то можно записать
. (5)
Выражая через с помощью (3) и подставляя в (5), получим:
(здесь 
и — разные текущие индексы), или
.
Отсюда:
. (6)
Таким образом, компоненты произвольного элемента при преобразовании базиса (2) преобразуются по линейному однородному закону. Из сравнения (6), (2) и (4) видно, что прямое преобразование базиса (2) и прямое преобразование компонент (6) осуществляется взаимно обратными матрицами.
Можно показать, что обратное преобразование компонент, то есть зависимость 
имеет вид:
. (7)
Пусть теперь 
— пространство, сопряжённое к . Вообще говоря, выбор базиса (как старого, так и нового) в совершенно не зависит от выбора базиса в . Поскольку с алгебраической точки зрения – такое же пространство, что и , то для него можно повторить все предшествующие рассуждения. Тогда, если 
и 
— старый и новый базисы в , то имеют место соотношения
, 
, (8)
, 
, (9)
, 
. (10)
В формулах (8)-(10) мы придерживаемся той же системы в обозначениях, что и в предыдущих формулах параграфа. Так, второй индекс матрицы 
соответствует номеру базисного элемента, подвергающегося разложению, а первый – номеру его компоненты.
Если выбор базисов в сопряженных пространствах ничем не связан, то и матрицы 
и независимы друг от друга. Однако, как указывалось выше, обычно требуют, чтобы базисы в сопряжённых пространствах удовлетворяли условию взаимности. Считая, что взаимными должны быть, как старые, так и новые базисы, имеем:
, 
. (11)
Этими условиями матрицы и однозначно связываются между собой. Подставляя в (11) формулы преобразований (2) и (8), получим:
. (12)
Иначе говоря, матрица 
является Обратно транспонированной по отношению к матрице 
.
Таким образом, фактически в формулах (2), (3), (8) фигурирует либо сама матрица 
, либо обратная к ней, либо обратная транспонированная. Для экономии букв целесообразно все эти матрицы обозначить одной коренной буквой, например, , а картина расположения индексов укажет на связь любой из матриц с исходной ( мы уже использовали это соглашение, обозначая прямую и обратную матрицы одной коренной буквой ). Тогда, если
— прямая матрица, то
— обратная,
— транспонированная,
— обратная транспонированная.
Можно также показать, что имеют место следующие равенства:
, 
(13)
Замечание.
Равенства (13) показывают, в частности, что преобразование (2) можно записать также в виде 
, не забывая при этом, что 
и 
отличаются транспонированием.
Записывая ещё раз прямые преобразования базисов и компонент с использованием новых обозначений для матриц преобразования, имеем:
, 
, 
, 
. (14)
Сопоставление этих выражений показывает, что компоненты элементов сопряжённого пространства преобразуются также, как и базисные элементы исходного , и наоборот, компоненты элементов исходного преобразуются также, как базисные элементы сопряжённого . Арифметические векторы и 
(то есть упорядоченные наборы чисел) принято называть соответственно Контра— и Ковариантными векторами (в буквальном переводе – противо — и соизменяющимися). Ещё раз подчеркнём, что хотя и суть упорядоченные наборы чисел, но законы преобразования этих чисел противоположны. Поэтому если, например, при каком-то выборе взаимных базисов окажется, что 
(символ 
означает, что равенство справедливо в каком-то определённом базисе), то после перехода к другому базису это равенство нарушится, то есть не будет инвариантным. Этот пример показывает важность знания трансформационных свойств числовых объектов.
Отметим наконец, что согласно принятой символике положения индекса (вверху или внизу) отражает закон его преобразования. Поэтому часто называют нижние индексы Ковариантными, а верхние – Контравариантными.