Пусть в 
-мерном пространстве задан объект, который в каждом базисе характеризуется упорядоченным набором 
чисел вида 
, (
), причём при переходе от одного базиса исходного линейного пространства к другому эти числа преобразуются Линейно И Однородно по каждому из текущих индексов, то есть согласно формуле
(1)
(суммирование по всем повторяющимся индексам, индексы со штрихами и индексы без штрихов — различны). Тогда говорят, что задан тензор Валентности (ранга) 
. Число 
определяет контравариантную, а 
— ковариантную валентности тензора, числа 
называются компонентами вектора в заданном базисе.
Частными случаями тензоров являются скаляры (или инварианты), ко — и контравариантные векторы с законами преобразования:
— для скаляра (
),
— для контравариантного вектора (
, 
),
— для ковариантного вектора (
, 
).
Пример.
Рассмотрим полилинейную форму вида
, (2)
Где 
, 
. В некотором взаимном базисе 
, 
элементы 
, 
, 
можно представить в виде 
, 
, 
, то есть линейной комбинацией базисных элементов 
, 
. Поскольку полилинейная форма линейна по каждому из аргументов в отдельности, то
(3)
Обозначая 
, мы видим, что данная полилинейная форма в каждом взаимном базисе характеризуется трижды упорядоченным набором чисел 
. Если перейти к новому взаимному базису 
, 
, связанному со старым преобразованием 
, 
, то с учётом замечания (13) 41 получим:
. (4)
Из сравнения (4) и (1) следует, что коэффициенты полилинейной формы 
являются тензором валентности три, один раз контравариантным и два раза ковариантным.
Два тензора называются Однотипными, если их контравариантные и ковариантные валентности равны. Тензоры, имеющие индексы обоих типов, называются Смешанными.
Два однотипных тензора Равны, если в некотором взаимном базисе равны их соответствующие компоненты.
Можно показать, что соответствующие компоненты равных тензоров равны друг другу в произвольных взаимных базисах.
Тензор называется Нулевым (Нуль-тензором), если все его компоненты относительно некоторого взаимного базиса равны нулю.
Если у тензора поменять местами два или более однотипных индексов, то в результате получим тензор того же типа и валентности. (Такие тензоры обычно называют Изомерами. Перестановке двух индексов на матричном языке соответствует транспонирование матриц.)
Тензор 
называется Симметричным по паре однотипных индексов 
, 
, если при их перестановке значения его компонент не изменяются, то есть при условии
(5)
Для любых .
Тензор 
называется Антисимметричным (кососимметричным) по паре однотипных индексов , , если при их перестановке его компоненты меняют знак на противоположный, то есть при условии
(6)
Для любых .
Следует иметь ввиду, что симметрия и антисимметрия определяются по местоположению индексов (например, по первому и третьему и т. д.), а не по их названию. Так, переобозначая в (5) индексы 
, 
, то же свойство симметрии (5) можно выразить соотношением:
(5)
Тензор называется симметричным по группе однотипных индексов, если при перестановке любой пары индексов из этой группы его компоненты не изменяются. Тензор называется антисимметричным по группе однотипных индексов, если при перестановке любой пары индексов из этой группы его компоненты меняют знак на противоположный.
Тензор (симметричный, антисимметричный) по всем индексам данного типа называют совершенно симметричным (антисимметричным). Антисимметричные тензоры валентности 2 часто называют также Бивекторами.