Закон отражения и преломления света.
Световая волна, проникая в вещество, вызывает вынужденные колебания заряженных частиц вещества: электронов и ионов так, что эти частицы сами становятся источниками вторичных волн. Вторичные волны когерентны, поэтому интерферируя между собой и падающей волной, формируют волну отражённую и преломлённую. Притом максимум интерференции наблюдается по направлениям, которые удовлетворяют законам отражения и преломления. Рассматривая задачу интерференции, можно определить амплитуду и фазу преломлённой и отражённой волн. Этот метод сложный. Интересен и другой метод, основанный на макроскопической теории Максвелла, который не объясняет возникновения преломления и отражения волн, но позволяет определить их характеристики. Для этого достаточно воспользоваться граничными условиями для электромагнитных полей:
; (1)
. (2)
Вообще — то для магнитного поля надо было бы записать 
и 
, где индекс N Означает нормальную составляющую векторов. Но при отсутствии поверхностных токов, можно записать 
и (2) означают неразрывность тангенциальных составляющих.
“Тангенциальная” — это проекция поля на границу раздела.
В первой среде поля создаются падающей волной и отражённой волной. Во второй среде поля создаются только преломлённой волной.
Первую среду будем характеризовать:
(3)
Аналогично для второй среды:
(4)
Введём систему координат:
XOY – плоскость границы раздела, XOZ – плоскость падения.
Предполагаем, что на границу раздела падает волна, направление распространения которой определяется волновым вектором 
. При этом:
; (5)
Где 
— амплитуда падающей волны.
Т. к. B = E/V = E×N/C, то всегда можем записать и 
. Кроме того, мы знаем, что вектора И 
взаимно перпендикулярны.
Запишем в аналогичном виде напряжённости электрических полей отражённой и преломлённой волн:
; (6)
; (7)
Подставим (5), (6) и (7) в первое граничное условие:
; (8)
Z = 0, (т. е. записали тангенциальные проекции).
Учитывая, что 
и Z = 0, получаем 
Тогда (8) примет вид:
; (9)
, 
, 
— тангенциальные составляющие амплитуды.
Граничное условие должно выполняться в любой момент времени. Это возможно лишь при выполнении условия w0 = w1 = w2.
Если первичная волна является мощной лазерной волной, то вынужденные колебания могут происходить на частотах кратных частоте первичной волны. Граничные условия должны выполняться в любой точке границы раздела, а это означает равенства:
(а)
(б)
Из условия (б) следует, что если у падающей волны волновой вектор лежит в плоскости XOZ, т. е. K0y = 0. Отсюда следует, что K0y = K1y = K2y = 0, т. е. все волновые вектора лежат в плоскости XOZ. А это означает, что лучи падающий, отражённый и преломлённый лежат в одной плоскости.
Разобьём равенство (а) на два: K0X = K1X и K0x = K2x. Введём углы j 1, j 1`, j 2. Из рис. 1 видно, что
— проекция векторов на ось Ox. С другой стороны: K = 2p/l = 2p/(V×T) = w/V = WN/c. Таким боком K0x = K1x преобразуется в выражение 
, откуда получаем
; (10)
Это закон Отражения света.
Рассмотрим равенство K0x = K2x. 
, откуда получаем
, или 
; (11)
Это закон Преломления света.
Всё это получили из граничного условия.
Если учтём теперь, что граничное условие выполняется в любой точке границы раздела и в любой момент времени, то получим:
; (12)
Аналогично для магнитного поля:
; (13)
Здесь мы рассмотрим амплитуды отражённой и преломлённой волн. Предположим, что обе среды (однородные и изотропные) обладают нулевой проводимостью и, следовательно, совершенно прозрачны; их магнитные проницаемости фактически будут отличаться от единицы на пренебрежимо малые величины, и поэтому мы положим m2 = m1 = 1.
Пусть E00 – амплитуда электрического вектора поля падающей волны, будем считать её в общем случае комплексной величиной с фазой, равной постоянной части аргумента волновой функции. Переменная её часть имеет вид:
, (1)
Где 
— единичный вектор нормали к фронту волны.
Разложим каждый вектор на компоненты — параллельную (||) и перпендикулярную (^) плоскости падения. Выбор положительных направлений для параллельных компонент, указан на рис. 1. Перпендикулярные компоненты располагаются перпендикулярно к плоскости рисунка.
Тогда компоненты электрического вектора поля падающей волны запишутся в виде:
; (2)
Компоненты магнитного вектора сразу же получаются из соотношения (при m = 1)
; (3)
Отсюда
;
; (4)
.
Аналогично если E20 и E10 – комплексные амплитуды прошедшей и отражённой волн, то соответствующие компоненты электрического и магнитного векторов равны следующим величинам.
Поле волны отражённой:
; 
;
; 
; (5)
; 
,
Где
. (6)
Поле волны прошедшей:
; 
;
; 
; (7)
; 
,
Где
; (8)
Тангенциальные составляющие векторов и 
должны быть непрерывны. Следовательно должны выполнятся соотношения:
; 
;
; 
. (9)
При этом условия для нормальных компонент 
и 
будут удовлетворяться автоматически. Подставляя в (9) значения всех компонент получим:
(*) 
;
(**) 
;
(**) 
;
(*)
. (10)
Перепишем попарно формулу (10). В одной паре запишем только параллельную компоненту, а во второй – перпендикулярную:
(I)
;
(II)
.
Преобразуем (I):
(III)
;
Сначала сложим левые и правые части (III):
.
Приведём к общему знаменателю и выразим (E20)½½:
; (11)
— одна формула Френеля.
Теперь вычтем обе части (III):
,
Откуда сразу же получаем вторую формулу Френеля:
; (12)
Уравнения (11) и (12) называются уравнениями Френеля. Впервые они были введены Френелем в несколько менее общем виде в 1823 г. на основе его теории, рассматривавшей свет, как колебания упругой среды. Эти соотношения пишутся обычно в другой форме, которую можно получить из (11) и (12), используя закон преломления, а именно в форме
; 
; (11a)
; 
. (12a)
Т. к. j 1 и j 2 вещественны (случай полного внутреннего отражения пока исключён), то тригонометрические функции, стоящие в правой части уравнений (11а), (12а), также вещественны. Следовательно фаза каждой компоненты отражённой и прошедшей волн либо равна фазе соответствующей компоненты падающей волны, либо отличается от неё на p. Т. к. знаки (E20)|| и (E20)^ совпадают со знаками (E00)|| и (E00)^, прошедшей волны равна фазе падающей. В случае же отражённой волны фаза будет зависеть от относительных значений j 1 и j 2. Если оптическая плотность второй среды больше, чем первой (e2 > e1), то j 1 > j 2; поэтому, согласно (12), знаки (E10)^ и (E00)^ различны и фазы отличаются друг от друга на p. При тех же обстоятельствах значение tg( j 1 – j 2) положительно, но знаменатель tg( j 1 + j 2) становится отрицательным для j 1 + j 2 > p/2, и в этом случае фазы (E10)|| и (E10)|| отличаются друг от друга на p. Аналогичное рассмотрение можно привести для случая, когда вторая среда оптически менее плотна, чем первая.
Для нормального падения j 1 = 0 и, следовательно, j 2 = 0; тогда соотношения (11) и (12) примут вид
, 
(13)
, 
(14)
Где N = N2/N1.
Отражательная и пропускательная способности; поляризация при отражении и преломлении.
Рассмотрим теперь, как энергия поля падающей волны распределяется между двумя вторичными волнами.
Интенсивность света (снова считаем m = 1) равна
; (1)
Поэтому количество энергии в первичной волне, которая падает на единицу площади поверхности раздела за одну секунду, будет равно
; (2)
Для отражённой и преломлённой волн энергия, покидающая единицу площади поверхности раздела за одну секунду, определяется подобными же выражениями, а именно
; (3)
.
Отношения
и 
(4)
Называют соответственно отражательный и пропускательной способностью. Легко проверить. Что в соответствии с законом сохранения энергии
(5)
Отражательная и пропускательная способности зависят от поляризации падающей волны. Их можно выразить через соответствующие отражательную отражательную и пропускательную способности для света, поляризованного параллельно и перпендикулярно плоскости падения.
Пусть вектор 
падающей волны образует с плоскостью падения угол a0. Тогда
; 
; (6)
Пусть, далее,
;
; (7)
И
;
. (8)
Тогда
, (9)
Где
; 
. (10)
Подобным же образом получим
, (11)
Где
(12)
Снова можно показать, что
; 
; (13)
Для нормального падения различие между параллельной и перпендикулярной компонентами исчезает и из (13), (14) предыдущего параграфа и (4) – этого, находим:
; 
. (14)
Отсюда следует, что
; 
. (15)
Аналогичные результаты получаются также для предельных значений t|| и R||, t^ и R^. Это легко увидеть из (10) и (12), если учесть, что, согласно закону преломления, j 2 ® j 1 при N ® 1. Следовательно, чем меньше различия в оптической плотности обеих сред, тем меньше энергии уносится отражённой волной.
Знаменатели в (10) и (12) конечны, за исключением случая j 1 + j 2 = p/2. Тогда tg ( j 1 + j 2) = ¥ и, следовательно, R|| = 0. В этом случае (рис. 1) отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны друг другу, а из закона преломления следует (т. к. теперь sin j 2 = sin(p/2 – j 1) = cos j 1), что
. (16).
Угол j 1, определяемый этим выражением, называется Углом полной поляризации или Углом Брюстера. Его важность впервые была отмечена в 1815г. Давидом Брюстером (1781-1868гг.). Если свет падает под этим углом, электрический вектор отражённой волны не имеет составляющей в плоскости падения.
Полученный выше результат, часто называемый законом Брюстера, можно пояснить следующим более прямым рассуждением. Поле падающей волны вызывает колебание электронов в атомах второй среды, которые совершаются в направлении электрического вектора прошедшей волны. Колеблющиеся электроны вызывают отражённую волну, которая распространяется обратно в первую среду. Но линейно колеблющийся электрон излучает в основном в направлении, перпендикулярном к направлению колебаний, так что в последнем направлении поток энергии излучения отсутствует. Отсюда следует, что когда отражённый и прошедший лучи перпендикулярны друг другу, то в отражённом луче энергия колебаний в плоскости падения равна нулю.
На рис. 2 показано зависимость отражательной способности стекла с показателем преломления 1,52 от угла падения j 1. Числа над верхней горизонтальной линией относятся к углу преломления j 2. Нулевое значение R|| в кривой (в) соответствует углу поляризации arctg(1,52) = 56°40¢.
В оптическом диапазоне показатели преломления по отношению к воздуху обычно порядка 1 – 5, но в радиодиапазоне они значительно больше; поэтому там соответственно велики и углы поляризации. Например, для оптических длин волн показатель преломления воды примерно равен 1,3 и угол поляризации 53°. В радиодиапазоне значение показателя преломления достигает примерно 9, а угол поляризации близок к 84°.
Легко увидеть, что согласно (9), кривая (б) на рис. 2 соответствует j 1 = 45°. Как сейчас будет показано, та же кривая представляет также отражательную способность 
для естественного света, т. е. для света, испускаемого нагретым телом. Направление колебаний в естественном свете быстро изменяется беспорядочным, случайным образом. Соответствующую отражательную способность Можно получить путём усреднения по всем направлениям. Т. к. среднее значение sin2a0 и cos2a0равны ½, то для средних значений
. (17)
Однако для отражённо света обе компоненты в общем случае неодинаковы. В самом деле. Используя (17), найдём:
; 
. (18)
При этом говорят, что отражённый свет частично поляризован, и степень его поляризации P можно определить следующим образом:
. (19)
Отражательная способность определится теперь выражением
; (20)
И поэтому она по-прежнему будет описывается кривой (б) на рис. 2. Степень поляризации теперь можно выразить в виде
;
Выражением в фигурных скобках определяют иногда поляризованную часть отражённого света.
Аналогичные результаты можно получить и для проходящего света. Для естественного света мы также найдём
. (21)
Возвращаясь к случаю линейного поляризованного падающего света, мы видим, что отражённый и прошедший свет остаётся линейно поляризованным, т. к. их фазы либо не изменяются, либо изменяются на p. Однако направления колебаний в отражённом и проходящем свете изменяются относительно направления колебаний в падающем свете в противоположные стороны. Это можно показать следующим образом.
Угол, который обозначили через a0, т. е. угол между плоскостью колебаний и плоскостью падения, называют азимутом колебаний. Будем считать его положительным, когда плоскость колебаний поворачивается по часовой стрелке вокруг направления распространения (рис. 3). Можно предполагать, что азимут изменяется в пределах от – p/2 до p/2. Для падающей, отражённой и прошедшей электрических волн имеем:
; 
; 
. (22)
Используя формулы Френеля, найдём
; (23)
. (24)
Т. к. 0 < = j 1 £ p/2, 0 £ j 2 £ p/2, то
; (25)
; (26)
Знак равенства в соотношении (25) справедлив лишь при нормальном или скользящем падении( j 1 = j 2 = 0 или j 1 = p/2); в соотношении (26) — лишь при нормальном падении. Эти неравенства показывают, что при отражении угол между плоскостью колебаний и плоскостью падения увеличивается, тогда как при преломлении он уменьшается. На рис. 4 показано поведение a1 и a2 для N = 1,52 и a0 = 45°. Мы видим, что когда j 1 равно углу Брюстера 56°40¢, то a1 = 90°. В самом деле, согласно (23) tga1 = ¥ (т. е a1 = p/2) для j 1 + j 2 = p/2 при любом значении угла a0.
