Вследствие сферической симметрии поля сохраняется вектор момента импульса 
, определенный относительно центра поля. Так как 
, то векторы 
И 
Перпендикулярны постоянному вектору и, следовательно, всегда лежат в плоскости, перпендикулярной ему. Поэтому вся траектория лежит в этой плоскости и является плоской кривой. Направим ось OZ по вектору . Тогда траектория будет лежать в плоскости XOY. Выберем в этой плоскости полярную систему координат и функцию Лагранжа запишем в форме :
(4.8)
Координата 
является циклической. Сопряженный ей обобщенный импульс сохраняется:
(4.9)
Согласно формуле (3.34) обобщенный импульс для одной материальной точки
, (3.34)
Этот обобщенный импульс равен проекции момента импульса материальной точки на ось OZ. Будем считать, что постоянная М положительна, что соответствует выбору положительного направления оси OZ по положительному направлению вектора момента импульса. В этом случае всегда 
И, следовательно, материальная точка в центральном поле движется так, что угол монотонно растет.
Закон сохранения (4.9) часто формулируется как закон площадей. Рассмотрим два положения материальной точки на траектории в два бесконечно близких момента времени, как показано на рис. 4.1. Из рисунка видно, что площадь бесконечно малого сектора, ограниченного двумя положениями радиуса-вектора и участком траектории, равна
. (4.10)
Из формул (4.9) и (4.10) находим скорость изменения площади с течением времени. Эта величина называется секторной скоростью и в центральном поле
(4.11)
За равные промежутки времени радиус-вектор материальной точки заметает одинаковые площади. Это утверждение, известное как Закон площадей, является другой формулировкой Закона сохранения момента импульса. Закон площадей выполняется для любого центрального поля.
Так как функция Лагранжа материальной точки в центральном поле не зависит явно от времени, то сохраняется энергия материальной точки. В полярных координатах выражение для энергии записывается в форме
(4.12)
Из выражения (4.9) найдем производную 
и подставим ее в формулу (4.12). В результате получим
(4.13)
Где введено понятие эффективной потенциальной энергии 
, равной
(4.14)
Формула (4.13) для энергии совпадает с формулой для энергии материальной точки, движущейся по радиусу и находящейся в потенциальном поле с эффективной потенциальной энергией 
. Из соотношения (4.13) находим, что
(4.15)
Разделяя в выражении (4.15) переменные и интегрируя его, получим неявную зависимость 
:
(4.16)
Выражение (4.15) и интеграл (4.16) имеют смысл только тогда, когда подкоренное выражение не отрицательно, то есть когда выполняется неравенство 
). Исследование этого неравенства позволяет, не вычисляя интеграла, определить области пространства, в которых возможно движение материальной точки при заданных энергии 
и моменте импульса 
. Качественно такое исследование можно провести графическим путем, если построить график зависимости И на том же графике провести прямую 
. Пример такого построения приведен на рис.. На этом графике условия неравенства Выполняются для значений радиуса в пределах 
. Следовательно, при обращении вокруг центра поля материальная точка будет то приближаться к центру на расстояние 
, то удаляться от него на расстояние 
.
Найдем теперь уравнение траектории. Так как производные 
и известны, то исключим время путем деления одной производной на другую. В результате получим
(4.17)
Интегрируя выражение (4.17), находим уравнение траектории в полярных координатах:
( 4.18)
Интеграл можно вычислить только после задания потенциальной энергии 
. Если положить 
, то изменение знака происходит одновременно с изменением знака . Знак меняется в точке, где 
И где, следовательно, материальная точка находится на минимальном или максимальном удалении от центра поля. Точки минимального или максимального удаления материальной точки от центра поля называются Точками поворота. Таким образом при 
Начало отсчета угла выбрано от прямой, проведенной от центра поля в точку поворота. Поскольку в этом случае одинаковым значениям 
, лежащим по разные стороны от точки поворота, отвечают одинаковые абсолютные значения угла , то траектория материальной точки симметрична относительно направления на точку поворота. Если при движении материальная точка уходит на бесконечность, то траектория состоит из двух симметричных ветвей. При движении без ухода на бесконечность траектория получается многократным отражением участка кривой, расположенного между положениями 
И 
.
Рис. 4.3 Рис. 4.4
Примеры возможных траекторий приведены на рис. 4.3 и рис. 4.4. Угол 
между положениями И На рис. 4.4 дается формулой
(4.19)
Если при сложении нескольких получится угол, кратный 
, то материальная точка возвратится на уже пройденный участок траектории и сама траектория будет замкнутой кривой. Условие замкнутости траектории записывается в форме
(4.20)
Где 
— целые числа. Если это условие не выполняется, то траектория будет незамкнутой кривой, расположенной в кольце между окружностями с радиусами И .