Энергия, закон изменения кинетической энергии системы материальных точек

Закон 2 Ньютона. Изменение количества движения пропорционально при­ложенной движущей силе и происходит по направлению той пря­мой, по которой эта сила действует.

Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действую­щей на него силой:

(1.1)

Так как масса — величина постоянная, то уравнение (1.1) мож­но записать в форме (1.6)

Если уравнение второго закона Ньютона (11) умножить скалярно на и учесть, что , то можно получить соотношение

(1.9)

Величина

Называется Кинетической энергией матери­альной точки, а произведение — работой силы на перемеще­нии . Изменение кинетической энергии материальной точки рав­но работе действующей на нее силы. Если элементарная работа силы является дифференциалом некоторой функции

(1.10)

То эта функция называется Потенциальной энергией. В этом случае из уравнения (1.9) вытекает Закон сохранения механической энергии, равной сумме потенциальной и кинетической энергии:

(1.11)

Силы, для которых выполняется условие (1,10), называются Потенциальными силами. Проекции потенциальной силы на оси координат выражаются через частные производные от потенциальной энергии:

; ; ; (1.12)

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14) ,

Записывая уравнения изменения кинетической энергии (1.9) для всех материальных точек системы и суммируя их по всем ма­териальным точкам, получим

(1.19)

Где — Кинетическая энергия системы материальных точек. В формуле (1.19) работа внутренних сил не обращается в пуль. Если сумма работ внешних и внутренних сил является полным дифференциалом, то из уравнения (1.19) вытекает Закон сохранения полной механической энергии

(1.20)

Потенциальная энергия зависит от координат всех материальных точек. Силу, действующую на материальную точку с номером А, Можно найти по формулам

(1.21)

Где производные берутся по координатам материальной точки .