ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Векторы и линейные операции над ними

Понятие вектора

Связанным вектором называется направленный отрезок. Связанный вектор характеризуется длиной, направлением и точкой приложения. Примером связанного вектора может служить сила, приложенная к упругому телу.

Направленные отрезки называются Эквивалентными, если они имеют одинаковые длины и направления.

Скользящим вектором называется множество эквивалентных направленных отрезков, расположенных на одной прямой. Скользящий вектор характеризуется длиной, направлением и точкой приложения, которая перемещается вдоль заданной прямой. В качестве примера можно взять силу, приложенную к абсолютно твердому телу.

Свободным вектором, соответствующим направленному отрезку , называется множество всех направленных отрезков, эквивалентных (рис 1). Свободный вектор характеризуется только длиной и направлением (примером может служить угловая скорость). Каждый направленный отрезок, при-

Рис. 1. надлежащий данному свободному вектору, называется его Представителем.

Свободные векторы называются Коллинеарными, если их представители параллельны одной и той же прямой.

Свободные векторы называются Компланарными, если их представители параллельны одной и той же плоскости.

Нулевым называется свободный вектор, у каждого представителя которого начало совпадает с концом.

Длиной свободного вектора называется длина любого из его представителей.

Углом между свободными векторами называется угол между его представителями, отложенными от одной точки.

Сложение векторов

Определение. Пусть заданы векторы и. Выберем в пространстве произвольную точку О и отложим от неё вектор . Получим направленный отрезок . От точки А отложим вектор . Получим направленный отрезок . Свободный вектор, представителем которого является направленный отрезок , называет-

Рис. 2 ся Суммой своБодных векторов И (рис. 2).

Упражнение. Докажите корректность определения, т. е. докажите, что результат не зависит от выбора точки О.

Свойства операции сложения

1. (коммутативность);

2. (ассоциативность);

3. ;

4. .

Эти свойства вам известны ещё со школы, поэтому на их доказательстве мы останавливаться не будем.

Умножение вектора на число

Определение. Произведением вектора На число называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

;
, .

Заметим, что в случае, когда , , значит.

Свойства операции умножения вектора на число

;
;
;
.

Эти свойства мы также не доказываем, т. к. и они вам известны со школы.

Критерии коллинеарности и компланарности

Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того чтобы векторы и были коллинеарными необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было выразить через другой, т. е., чтобы существовало число такое, что , или существовало бы число такое, что . При этом, если один векторов ненулевой, то второй можно через него выразить.

►Достаточность. Дано: . Тогда согласно определению произведения вектора на число.

Необходимость. Дано: . Рассмотрим два случая:

1. Один из векторов нулевой, например, . Тогда , т. е. .

2. Оба вектора ненулевые. Положим

Тогда . Кроме того,

(рис. 3); (рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

Таким образом, векторы и имеют одинаковые длину и направление, значит, они совпадают.

Теорема 2 (критерий компланарности). Для того чтобы три вектора были компланарными необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других. При этом, если два из векторов неколлинеарны, то третий можно через них выразить.

►Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в иде линейной комбинации двух других, например . Возможны два случая.

А) — компланарны}.

Б) Векторы и неколлинеарные. Доказательство вытекает из того, что треугольник – плоская фигура (см. рис. 5).

Необходимость. Дано: — компланарны.

Рис. 5. а) ;

Б) и — неколлинеарные. Отложим все три вектора от одной точки О (см. рис 6) и проведем Тогда:

, (1)

, (2)

, (3)

(1), (2), (3).◄

Рис. 6.

§ 2. Аффинная система координат

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на этой прямой.

Теорема. Если на прямой задан базис , то для любого вектора на этой прямой существует число такое, что .

Доказательство вытекает из теоремы 1 §1.

Определение. Базисом на плоскости называется упорядоченная пара неколлинеарных векторов, принадлежащих этой плоскости.

Теорема. Если на плоскости задан базис , то для любого вектора на этой плоскости существует упорядоченная пара чисел такая, что .

Доказательство вытекает из теоремы 2 §1.

Определение. Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов.

Теорема. Если в пространстве задан базис

, (1)

То для любого вектора существует упорядоченная тройка чисел такая, что

. (2)

Равенство (2) называется разложением вектора по базису (1), а коэффициенты разложения – координатами вектора В базисе (1).

►Выберем в пространстве некоторую точку О

и отложим все векторы от этой точки. Обозначим

плоскость, проходящую через точку О парал-

лельно векторам и и через конец вектора —

точку М проведем прямую, параллельную вектору

, а точку пересечения её с плоскостью

Рис.1. обозначим (см. рис. 1). Тогда

, (3)

— компланарны, и неколлинеарны} [Т-2 §1]

, (4)

[Т-1 §1] {}. (5)

Теперь равенство (2) вытекает из равенств (3), (4), и (5).◄

Свойства координат векторов

Координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.
Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.
При сложении векторов их соответствующие координаты складывают.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых.

Эти свойства вам известны со школы, мы их докажем позже.

Определение. Системой координат называется совокупность точки О, являющейся началом координат, и базиса.

Если в пространстве задана система координат , то каждой точке можно поставить в соответствие вектор , который называется её Радиус-вектором.

Координатами точки в выбранной системе координат называются координаты её радиус-вектора в соответствующем базисе.

Рис. 2. Если при откладывании некоторого вектора от точки

Получаем точку (рис. 2), это будем записывать следующим равенством:

. (6)

Так как и т. к. координаты точки совпадают с координатами её радиус-вектора, то из (6) получается правило: чтобы найти координаты конца вектора следует к координатам вектора прибавить соответствующие координаты его начала.

Введенная система координат называется Аффинной. Если базисные векторы попарно ортогональны, а длины их равны единице, то система координат называется Ортонормированной. Базисные вектора правой ортонормированной системы координат будем обозначать (так же, как и в школе).

§ 3. Скалярное произведение

Определение. Скалярным произведением векторов и Называется число .

Некоторые свойства скалярного произведения

►Положим . Тогда .◄

►.◄

Пусть заданы два вектора и , причем . Отложим их от одной

Точки О и через конец вектора проведем прямую (см. рис. 1).

Геометрической (векторной) проекцией Вектора на вектор называется вектор .

Алгебраической проекцией вектора на называется число

Если — острый угол, то (рис. 1):

Если — тупой, то (рис. 2):

Если же — прямой угол, то . Таким образом, в любом случае .

Запишем ещё две известные вам со школы формулы. Если в пространстве задан ортонормированный базис и заданы два вектора и своими координатами, то

—

Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе,

—

Вычисление длины вектора в ортонормированном базисе

§4. Векторное произведение

Ориентация тройки векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называет-

Ся Правой, если, глядя с конца третьего век-

тора на плоскость первых двух, мы видим

поворот от первого вектора ко второму по

Кратчайшему пути совершающимся против

часовой стрелки. В противном случае трой-

. ка называется Левой. Так, на рис. 1 тройка

является левой.

Рис. 1.

Свойства ориентации

1. { — правая} { — левая}.

2. { — правая} { — левая}.

3. { — правая} { — правая}.

Перестановка упорядоченного множества называется Циклической, если каждый его элемент ставится на место предыдущего (или последующего).

Определение векторного произведения. Векторным произведением векторов и , взятых в указанном порядке, называется Вектор, который обозначается и удовлетворяет следующим условиям:

1. .

2. .

3. — правая тройка.

Свойства векторного произведения

1. (критерий коллинеарности).

►.◄

2. — антикоммутативность;

►а) .

Б) . Кроме того, если , то существует плоскость P такая, что , поэтому , а значит, и . Итак, . Остаётся убедиться в сонаправленности этих векторов.

{-правая} Левая} Правая}

Таким образом, длины и направления векторов и совпадают, значит .◄

3. , .

Эти два свойства мы докажем в § 5.

5. Линейные комбинации векторов векторно умножаются по правилу умножения многочленов. При этом не следует забывать, что сомножитель из первой скобки обязательно должен быть на первом месте.

Это свойство является следствием 3-го и 4-го.

Пример. ▼

.▲

6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки.

7. Физический смысл векторного произведения. Моментом силы , приложенной к точке

А, относительно точки О называется вектор

Рис. 2 (рис. 2).

Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов в ортонормированном базисе

Сначала составим таблицу векторного умножения базисных векторов. Векторы первого столбца будем считать первыми сомножителями, а векторы верхней строчки – вторыми. Согласно критерию коллинеарности, . Очевидно, , . Кроме того, т. к. тройка векторов — правая, то , . Аналогично заполняются остальные клетки.

Пусть теперь заданы два вектора и своими координатами в базисе . Тогда

. (1)

Для облегчения запоминания этой формулы введем понятие определителя (подробно теория определителей будет изучаться в линейной алгебре).

Определитель второго порядка записывается в виде таблицы, ограниченной вертикальной чертой с обеих сторон, и вычисляется следующим образом:

Здесь первый индекс обозначает номер строки, а второй – номер столбца.

Определитель третьего порядка Вычисляется так:

Теперь из (1) получаем:

Это и есть та формула, которую вы должны запомнить.

§5.Смешанное произведение

Определение. Смешанным произведением векторов , взятых в указанном порядке, называется число .

Свойства смешанного произведения

1. Критерий компланарности. Для того чтобы три вектора были компланарными необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

►Необходимость. Дано: — компланарны. Тогда

{существует плоскость P, что .

Достаточность. Дано: . Рассмотрим два случая:

А);

Б)

плоскость

.◄

2. Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение некомпланарных векторов численно равно объёму V параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, взятому со знаком плюс, если тройка векторов — правая и минус, если — левая.

Рис. 1.

(1)

►

Заметим, что на рис. 1 тройка — левая◄

3. .

►На основании коммутативности скалярного произведения, достаточно доказать равенство . Если векторы компланарны, то утверждение истинно согласно первому свойству. Если же они некомпланарны, то

(2)

Так как ориентации троек и совпадают, то из (1) и (2) вытекает доказываемое утверждение. ◄

На основании этого свойства мы делаем вывод, что не имеет значения, в каком месте ставить «крестик», а в каком «точку». Поэтому в смешанном произведении эти знаки не ставятся вообще, и оно обозначается так: .

4. .

►Первые три смешанных произведения равны вследствие того, что тройки одинаково ориентированы, а в последней тройке ориентация меняется, поэтому смешанное произведение меняет знак. ◄

5. , , .

►Докажем, к примеру, второе равенство:

.◄

6. .

Доказывается так же, как и предыдущее.

Выражение смешанного произведения через координаты

Перемножаемых векторов в ортонормированном базисе

Пусть заданы три вектора своими координатами в ортонормированном базисе: . Тогда

;

Доказательство третьего и четвертого свойств векторного

Произведения

Итак, докажем равенство:

. (3)

►Выберем произвольный вектор . Тогда

. (4)

Так как (4) справедливо для любого вектора , то, на основании свойств скалярного произведения, из (4) вытекает (3).

Остальные равенства доказываются аналогично.◄

§ 6. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением называется произведение или .

Теорема. Для любых векторов справедливы равенства:

, (1)

►Докажем, например, первое из них. Пусть заданы три произвольных вектора . Построим правый ортонормированный базис следующим образом: в качестве вектора возьмём единичный вектор, коллинеарный , вектор выберем перпендикулярным вектору и так, чтобы были компланарными, и положим . В этом базисе . Тогда ;