ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. Матрицы и линейные операции над ними

Основные определения

Матрицей размеров (читается M на N) называется числовая таблица, имеющая M строк и N столбцов.

Матрицу будем сокращённо обозначать одной большой буквой латинского алфавита, например A. Чтобы подчеркнуть её размеры, их будем записывать нижними индексами, например, матрицу А размеров запишем так: . Элементы матрицы обозначаются той же буквой латинского алфавита, что и сама матрица, но только малой, и снабжённой двумя нижними индексами, первый из которых обозначает номер строки, а второй — номер столбца. Так, обозначает элемент матрицы А, расположенный в I-ой строке J-ом столбце. Но запись (т. е. в круглых скобках) – это сокращённая запись всей матрицы А, то есть (читать можно так: матрица А с элементами ).

Если желательно указать размеры матрицы, это можно сделать, например, таким образом: =, либо так:

(читается так: I меняется от 1 до M, J меняется от 1 до N).

В развёрнутом виде матрица записывается, согласно определению, как числовая таблица, при этом с обеих сторон она ограничивается либо круглыми скобками, либо квадратными, либо двумя вертикальными чертами, например:

.

Матрица А имеет размеры , B – , a C – .

Матрица называется нулевой и обозначается O, если все её элементы равны нулю. Для каждых размеров есть своя нулевая матрица.

Если M=n, то матрица называется Квадратной, а число N называется её порядком (говорят: квадратная матрица А N-го порядка). Элементы квадратной матрицы образуют её главную диагональ и называются диагональными.

Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю ( при ), а отличными от нуля могут быть только диагональные элементы (среди них также могут быть нули), то такая матрица называется диагональной. Примером диагональной является квадратная нулевая матрица. Среди диагональных матриц выделяют матрицу Е, все диагональные элементы которой равны 1, и называют эту матрицу Единичной, т. к. во множестве матриц она играет такую же роль, как и единица во множестве чисел. Единичная матрица выглядит так:

.

Если обозначить элементы единичной матрицы , то

.

Символ δ, снабжённый двумя индексами, верхними или нижними , равный 1, когда индексы совпадают, и 0, когда они разные, широко применяется как в математике, так и в физике, и называется Символом Кронекера. Таким образом, элементы единичной матрицы совпа-

Дают с соответствующими символами Кронекера.

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , нижней треугольной, если при . Неквадратная матрица при N>m называется трапециевидной, если при I>j. Например, А – верхняя треугольная, В – нижняя треугольная, С – трапециевидная матрицы:

;

Матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы совпадают.

Сложение матриц

Определение. Суммой матриц и называется матрица , такая, что

.

Таким образом, из определения видно, что складываются матрицы только одинаковых размеров, матрица-сумма имеет те же размеры, что и матрицы-слагаемые, причём при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.

Очевидно, что сложение матриц обладает следующими свойствами: если А, В, С – произвольные матрицы одинаковых размеров, то:

1°. A + B = B + A (коммутативность);

2°. (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность);

3°. (существование нейтрального элемента);

4°. (существование противоположного элемента).

Матрица О из третьего свойства называется нейтральным элементом операции сложения, этим свойством обладает нулевая матрица; матрица (-А) из 4-го свойства называется противоположной матрицей для А. Этим свойством обладает матрица, элементы которой противоположны соответствующим элементам матрицы А (т. е., если, то ).

Во множестве матриц одинаковых размеров задаётся и операция вычитания как операция, обратная сложению. Поэтому вычитание матриц сводится к вычитанию их соответствующих элементов.

Умножение матрицы на число

Определение. Произведением матрицы на число A называется матрица , такая, что

.

Таким образом, из определения видим, что при умножении матрицы на число получаем матрицу тех же размеров, причём все элементы матрицы умножаются на то же число.

Нетрудно убедиться, что операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами: если А и В – произвольные матрицы одних и тех же размеров, a и b — произвольные числа, то

1°. a(А + В)= aА + aВ;

2°. (a+b) A = aA + bA;

3°. (ab) A = a(bA);

4°. 1A = A.

Операции сложения и умножения матриц на число впредь будем называть линейными операциями.

§ 2. Умножение матриц

Лемма. Для любой совокупности чисел , снабжённых двумя индексами I и J, где справедливо равенство:

. (1)

►Расположим заданные числа в матрицу, считая первый индекс номером строки, а второй – номером столбца. Найдём сумму всех чисел двумя способами: сначала просуммируем числа во всех строках и сложим все полученные суммы (сумма (2)), а затем просуммируем числа в столбцах, и опять сложим все полученные суммы (сумма (3)). На основании свойств коммутативности и ассоциативности сложения чисел, результаты будут одинаковыми. Вот как это выглядит:

Сравнивая (2) и (3), получаем (1).◄

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица AB = такая, что

. (4)

Анализируя определение, замечаем, что умножать матрицы можно только в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго, т. е., если размеры матриц- сомножителей поставить рядом, то посередине должны получиться одинаковые числа, а если эти одинаковые числа зачеркнуть, то оставшиеся числа как раз и будут размерами матрицы-произведения ().

Кроме того, из формулы (4) видим, что для вычисления элемента матрицы-произведения, расположенного в I-й строке и K–м столбце, следует I–ю строку первого сомножителя умножить на K–й столбец второго (т. е. каждый элемент строки умножить на соответствующий элемент столбца и результаты сложить, как это делается при вычислении скалярного произведения).

Примеры

1.;;;.

▼Определены произведения AB; DA; BC; BD; DB; CD. Как видим, если произведение AB определено, то это вовсе не означает, что и произведение BA определено тоже. В нашем случае оба произведения определены только для одной пары: BD и DB. Их и вычислим:

;

.

Заметим, что произведения AB и BA не только не совпадают, но даже имеют разные размеры (конечно, по приобретении опыта матрицы надо перемножать устно, а не расписывать так подробно).▲

2. .

▼Матрицы A и B – квадратные матрицы второго прядка, определены как произведение AB, так и BA. Найдём оба этих произведения:

▲

Из приведённых примеров видим, что в том случае, когда оба произведения AB и BA существуют, они могут быть как одинаковыми, так и разными. Поэтому говорят, что произведение матриц, вообще говоря, не коммутативно. Кроме того, второй пример показывает, что произведение матриц не обладает ещё одним известным свойством произведения чисел: если произведение равно 0, то один из сомножителей равен 0. Как видим, в приведенном примере произведение ненулевых матриц равняется нулевой. Поэтому в матричных равенствах ни в коем случае нельзя сокращать на матрицу. Тем не менее, некоторыми из известных свойств операция произведения матриц обладает.

Свойства произведения матриц

1°. (AB)C=A(BC) – ассоциативность.

Это свойство надо формулировать так: если определены произведения матриц AB и (AB)C, то определены и произведения BC и A(BC), причём (AB)C = A(BC).

2°. A(B+C) = AB+AC – дистрибутивность умножения относительно сложения.

3°. (a A) B = A (aB) = a(AB).

4°. EA = A; AE = A.

Мы здесь докажем первое свойство, а остальные вы сформулируете текстом и докажете самостоятельно в качестве упражнения. Итак, доказательство ассоциативности:

►Пусть . Так как существует произведение АВ, то , значит . Так как существует произведение , то , тогда . А значит, произведение определено. Пусть . Тогда определено и произведение . Таким образом, мы видим, что размеры матриц и совпадают, и для доказательства равенства этих матриц остаётся доказать равенство их соответствующих элементов. Приступаем к вычислениям.

;

; (5)

;

. (6)

На основании доказанной леммы, сравнивая (5) и (6), получаем:

,

И, поэтому, F=H.◄

§ 3. Степени квадратной матрицы

Если А – квадратная матрица, то определено произведение АА, которое называется квадратом матрицы А, обозначается А2, и также является квадратной матрицей того же порядка, что и А. Поэтому определено и произведение АА2. Вообще, если для квадратной матрицы определена степень , то по определению .

Лемма. Для любой квадратной матрицы А и для любого натурального N справедливо равенство .

►Доказательство проведем методом математической индукции.

Проверяем утверждение при N=1: АА=AA – истинно.

Предполагая, что утверждение верно при N=k, доказываем, что оно верно при N=k+1.

[определение K+1-й степени] = [предположение индукции] = [ассоциативность произведения] =

= [определение K+1-й степени] = .◄

Если произведение матриц коммутативно, то они называются Коммутирующими или Перестановочными. Таким образом, ст епени одной и той же квадратной матрицы перестановочны.

Можно доказать, что натуральные степени квадратной матрицы обладают следующими свойствами:

1°. ;

2°. .

Если , то по определению считается, что A0=E.

§ 4. Транспонирование матриц

Определение. Матрица называется транспонированной к матрице , если

.

Таким образом, из определения мы видим, что при транспонировании матрицы строки становятся столбцами и наоборот. Например, если

, то .

Кроме обозначения AT для матрицы, транспонированной к А, ещё используют следующие: .

Свойства операции транспонированИя

1°.;

2°.;

3°.;

4°..

Первые три свойства практически очевидны. Докажем четвёртое, которое формулируется так: если определено произведение матриц АВ, то определено и произведение , причём

. (1)

►Пусть . Так как определено произведение АВ, то В имеет размеры , , , а значит, определено произведение . Обозначим , тогда . Как видим, матрицы и из левой и правой частей равенства (1) имеют одинаковые размеры, и для доказательства их равенства остаётся доказать равенство соответствующих элементов.

, (2)

. (3)

Сравнивая (2) и (3), видим, что .◄

§5. Блочные матрицы

Иногда по разным причинам матрицу удобно разбить на блоки. Полученная матрица, элементами которой являются опять же матрицы, называется блочной. Например, матрица В разбита на 4 блока, а матрица С – на 6:

, .

Заметим, что если — блочная матрица, то все её элементы- матрицы при фиксированном I имеют одинаковое число строк, а при фиксированном J — одинаковое число столбцов.

Если матрицы имеют одинаковые размеры и разбиты на блоки одинаковым образом, то их можно складывать по тому же принципу, что и обычные. Так же обычным образом блочные матрицы умножаются на число.

Умножаются блочные матрицы формально тоже как обычные. Пусть . Тогда

.

При этом необходимо, чтобы существовали все произведения . Например, запишем по такому правилу произведение приведенных блочных матриц В и С:

.

Убедимся в том, что в действительности . Посчитаем для проверки элемент . Чтобы его найти, следует сложить элементы матриц и , расположенные в первой строке и первом столбце. Итак,

,

Что действительно совпадает с соответствующим элементом матрицы . Аналогично проверяется равенство остальных элементов.

Для блочных матриц легко задается и операция транспонирования. Например,

,

Т. е. блочная матрица транспонируется так же, как и обычная, только все её элементы также заменяются на транспонированные.

Блочную матрицу будем называть блочно-диагональной, если при матрицы являются квадратными, их главные диагонали расположены на главной диагонали матрицы В, а при . В этом случае нет необходимости нумеровать диагональные блоки двумя индексами, достаточно одного. Блочно-диагональную матрицу с блоками на главной диагонали будем обозначать так: .

§6 Определители

Определение определителя

Каждой квадратной матрице поставим в соответствие число, которое назовем ее Определителем или Детерминантом и будем обозначать det A, следующим образом:

А) если , то (определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу),

Б) если , то

,

В) если известно, как найти определитель матрицы -го порядка, то определитель матрицы -го порядка задается так:

(1)

Где — определитель матрицы -го порядка, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и -го столбца.

Определитель квадратной матрицы N-го порядка будем просто называть определителем N-го порядка.

В развернутом виде определитель N-го порядка записывается в виде таблицы, ограниченной с обеих сторон вертикальными чертами (по одной с каждой стороны):

Приведенное выше определение определителя называется определением по индукции или определением с помощью разложения по первой строке.

Пусть А – некоторая матрица, не обязательно квадратная. Выделим в ней K строк и K столбцов. Элементы, расположенные на пересечениях выделенных строк и столбцов образуют определитель K-гo порядка, который называется Минором K-гo порядка матрицы А (или определителя) и обозначается

, (2)

Где – номера выделенных строк, – номера выделенных столбцов.

Если А – квадратная матрица N-го порядка (или определитель), то элементы, оставшиеся после вычеркивания выделенных строк и столбцов, также образуют определитель порядка N – K. Его называют Минором, Дополнительным к минору (2), и обозначают . Алгебраическим дополнением К минору (2) называется число

.

Очевидно, алгебраическое дополнение к некоторому минору от дополнительного минора может отличаться разве что знаком. Так, например, если

,

То

Каждый элемент матрицы А (или определителя) является ее минором первого порядка, и поэтому для него определяется как дополнительный минор, так и алгебраическое дополнение. В алгебраическом дополнении к одному элементу оба индекса будем писать снизу, считая, как обычно, первый индекс номером вычеркиваемой строки, а второй – столбца.

Используя введенные обозначения, равенство (1) можно записать так:

(3)

Таким образом, согласно определению, определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения.

Основные леммы об определителях

Лемма 1 (О разложении по первому столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов 1-го столбца на их алгебраические дополнения, т. е.

(4)

►Доказательство проведем методом математической индукции по размерности определителя.

А) Проверим верность утверждения для N=2:

— истинно.

Б) Предполагая, что утверждение верно для определителей (N-l)-гo порядка, докажем его для определителей N-го порядка.

[определение или разложение по первой строке] =

= [предположение индукции или разложение по первому столбцу определителя (N–1)-го порядка ] =

=[лемма §2]

+

=

Замечания. 1. При разложении определителя по первой строке все дополнительные миноры , за исключением первого, имеют одинаковый первый столбец, поэтому в разложении первое слагаемое выделяется отдельно.

2. В определителе элемент находится в строке с номером I-1.

3. В том, что , убеждаемся непосредственно, разлагая по1-ой строке.◄

Лемма 2 (О равноправии строк и столбцов). При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, то есть

Доказательство этого утверждения проведите самостоятельно в качестве упражнения опять же методом математической индукции по размерности определителя.

После доказательства этой леммы можно утверждать, что все свойства, доказанные для строк определителя, справедливы также и для его столбцов и наоборот.

Лемма 3 (О перестановке строк или столбцов). При перестановке в определителе двух строк (столбцов) местами определитель лишь поменяет знак.

►Доказательство проводим для строк определителя в два этапа.

1. Методом математической индукции докажем утверждение для случая, когда меняются местами две соседних строки: I-я и (I+1)-я.

А) Проверяем утверждение при . Пусть

.

Тогда .

Б) Предполагая, что утверждение справедливо для определителей

(N-1)-го порядка, доказываем его для определителей N-го порядка. Пусть

.

Обозначим — дополнительные миноры к элементу матрицы А, расположенному в K-й строке и J-м столбце, а — дополнительные миноры к элементу матрицы , расположенному на том же месте. Нетрудно заметить, что при и при миноры и Отличаются друг от друга только тем, что в них две соседние строчки поменялись местами. Итак,

[лемма 1] + + + [предположение индукции] =

= =

2. Поменяем местами строки, которые соседними не являются, например, I — ю и K-ю. Будем обозначать строки матрицы А большими буквами с верхними индексами ( — соответственно 1-я, 5-я и K-я строки матрицы А). Тогда

(первое действие – переставляем K — ю строку на ее место, каждый раз меняя ее с соседней, второе — переставляем I — ю строку на ее место, каждый раз меняя ее с соседней).◄

TЕорема 1 (Основная теорема об определителях). Если в определителе выбрать какую-либо строку (столбец), то определитель равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т. е.

— (5)

Разложение по I — й строке,

—

Разложение по J-му столбцу.

►Доказательство проведем для строк определителя, т. е. докажем формулу (5). Обозначим А – обычную матрицу, и — матрицу, полученную из А, если мы в ней переставим I –ю строку на место первой, всякий раз меняя ее с соседней:

.

Заметим, что если в последней матрице вычеркнуть 1-ю строку и J -й столбец, то получим такой же минор, как если бы в исходной матрице вычеркнули I –Ю строку и J — й столбец. Тогда

◄

Следствие. Определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов.

Обобщением теоремы 1 является

Теорема 2 (Лапласа). Если в определителе выделить Строк (столбцов), то определитель равен сумме произведений всех миноров -го порядка, расположенных в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Эту теорему мы оставляем без доказательства.

Следствие. Определитель блочно-диагональной матрицы равен произведению определителей её диагональных блоков.

Основные свойства определителей

1º. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в этой строке записано первое слагаемое, во втором – второе, а все остальные строки (столбцы) этих двух определителей совпадают с соответствующими строками (столбцами) исходного определителя.

►Доказательство проводим для строк. Применяя разложение по I-й строке, получаем:

=

= + = =

(здесь следует учесть, что во всех трех определителях алгебраические дополнения к соответствующим элементам I-й строки совпадают). ◄

2º. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), умножить на число, то определитель умножится на это число (общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя).

►Доказательство опять проводим для строк и опять же разлагаем определитель по I-й строке:

. ◄

Первое и второе свойства носят название линейности определителя.

3º. Если определитель содержит строку или столбец, полностью состоящий из нулей, то он равен нулю.

Доказательство вытекает из 2-го свойства.

4º. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

►Доказательство вытекает из леммы 3: если две одинаковые строки поменять местами то, с одной, стороны, определитель не изменится, а с другой стороны, он поменяет знак.◄

5º. Если определитель содержит две пропорциональные строки (столбца), то он равен нулю.

Доказательство вытекает из второго и четвертого свойств.

6º (основное свойство определителей). Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить другую его строку (столбец), умноженную на число, то определитель при этом не изменится.

►Прибавим к I-й строке определителя K-ю строку, умноженную на . На основании 1-го свойства имеем:

=

(так как второй определитель обращается в 0 на основании 5-го свойства).◄

Следствие. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию других его строк (столбцов), то определитель при этом не изменится.

7º. Определитель матрицы, комплексно сопряженной данной, равен числу, комплексно сопряженному ее определителю.

Доказательство легко проводится методом математической индукции, используя разложение, например, по первой строке.

8º. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей, т. е. .

►Для простоты доказательство проведем для квадратных матриц второго порядка (для матриц N–го порядка оно точно такое же).

Пусть

.

Обозначим

Квадратную матрицу четвертого порядка и преобразуем ее следующим образом: прибавим к первой строке третью, умноженную на , и четвертую, умноженную на , а ко второй – третью, умноженную на , а четвертую — на .Получим матрицу

.

Заметим, что в ее правом верхнем углу получилась именно матрица . Вычислим определители матриц и по теореме Лапласа, в обоих случаях выделяя первые две строки:

, .

На основании 6-го свойства и следствия к нему, определители матриц и совпадают, откуда и вытекает доказываемое утверждение. ◄

Теорема 3 (Аннулирования). Сумма произведений какой либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой его строки (столбца) равна нулю.

►Доказательство опять проводим для строк. Вычислим определитель, имеющий две одинаковые строки (I-ю и K-ю) разложением по K-й строке. Конечно же, он равен нулю, и поэтому

.◄

Замечание. Утверждения теорем 1и 3 можно записать одной формулой:

.

Теорема 4 (Замещения). Пусть заданы определитель N-го порядка и упорядоченный набор чисел

. (6)

Сумма произведений чисел (6) на алгебраические дополнения соответствующих элементов какого-либо столбца (строки) определителя равна определителю, полученному из заменой этого столбца (строки) на столбец (строку ).

►На этот раз доказательство проведем для столбцов. Обозначим — определитель, полученный из заменой -го столбца на столбец и вычислим этот определитель разложением по J-му столбцу:

.◄

Пример. ▼Вычислим определитель с использованием основного свойства. Стрелками будем обозначать проводимые действия. Так, например, если ко второй строке прибавляем четвертую, умноженную на

(-1), то стрелка идет в направлении от четвертой строки ко второй, и рядом с ней написана (-1). Цель преобразований состоит в том, чтобы получить в какой-либо строке (или столбце) все нули, за исключением, разве что, одного элемента.

= [понижаем порядок определителя, разлагая его по первому столбцу] = = [разлагаем по второй строке] =

.▲

В заключение параграфа сформулируем

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае квадратная матрица называется вырожденной.

§7. Выражение определителя через элементы матрицы

Перестановкой множества

(1)

Будем, как обычно, называть любое упорядоченное множество из этих элементов. Так, например, (2,1,3) – одна из перестановок множества {1,2,3}. Пусть

— (2)

Некоторая перестановка множества (1). Меняя местами какие-либо пары элементов, любую перестановку (2) после конечного числа шагов можно привести к стандартной перестановке

.

Например, чтобы привести перестановку (2,4,1,3) к стандартной, требуется три перемены (их ещё называют инверсиями): (2,4,1,3) → (1,4,2,3) → (1,2,4,3) → (1,2,3,4).

Обозначим через число перемен, которое необходимо проделать, чтобы перестановку (2) привести к стандартному виду. Перестановка (2) называется Четной, если — четное число, и Нечетной в противном случае.

Введем в рассмотрение числа

И назовем их символами Леви — Чивита. Для удобства записи некоторых формул символы Леви — Чивита определим и при одинаковых значениях индексов, считая их в этом случае равными нулю.

Теорема. Пусть А – квадратная матрица — го порядка. Тогда

(3)

(в правой части равенства (3) сумма берется по всем перестановкам множества (1)).

Проверим справедливость утверждения для определителя третьего порядка:

=

.

Для определителей N— го порядка утверждение доказывается методом математической индукции.

Рассмотрим пространство свободных векторов. Положим для единообразия

, (4)

Выберем три произвольных вектора и каждый из них разложим по базису (4):

.

Тогда

, .

§ 8. Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице А, если

. (1)

Свойства обратных матриц

1°. Если матрица А имеет обратную, то А–1 тоже имеет обратную, причем (А–1)–1 = А.

2°. Если матрица А имеет обратную, и , то матрица αА также имеет обратную, причем (αА)–1 = (1/α)А–1.

3°. Если матрица А имеет обратную, то также имеет обратную, причем .

4°. Если матрицы А и В одного порядка имеют обратные, то имеет обратную и их произведение, причем

(АВ)–1 =В–1А–1.

►Докажем 1-е и 4-е свойства.

1°.Обозначим В = А–1 и покажем, что А является обратной к В. Для этого проверим выполнение равенства (1): ВА = А–1А = Е; АВ = АА–1 = Е.

4°. Обозначим С = АВ и покажем, что В–1А–1 является обратной к С:

С(В–1А–1) = (АВ)(В–1А–1) = А(ВВ–1)А–1 = АЕА–1 = АА–1 = Е;

(В–1А–1)С = (В–1А–1 )(АВ) = В–1(А–1А)В = В–1В = Е

(везде используется ассоциативность произведения матриц).◄

Остальные свойства вы без труда докажете самостоятельно.

Лемма (Необходимое условие существования обратной). Если квадратная матрица А имеет обратную, то А–невырожденная матрица.

►На основании свойства 8° § 6 из (1) вытекает:

,

Значит, . ◄

Теорема (Существования и единственности). Для любой невырожденной квадратной матрицы А существует единственная ей обратная

Где — алгебраическое дополнение к элементу матрицы .

►Существование. Пусть . Покажем, что записанная матрица действительно обратная к А. Обозначим — элементы матрицы , , а обозначим матрицу . Тогда:

= [теорема аннулирования для строк] = .

Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, приведенная выше матрица удовлетворяет определению обратной к А.

{googleAds}

{/googleAds}

Единственность. Предположим, что некоторая невырожденная квадратная матрица А Имеет две разных обратные матрицы: и . Тогда

.◄

Замечание. Мы не только доказали для невырожденной матрицы существование обратной, но даже показали, какая конкретно матрица является обратной данной. Такое доказательство называется конструктивным.