ГЛАВА 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ

§ 1 Уравнения множества точек

В этой главе будем считать, что на плоскости или в пространстве задана ортонормированная система координат.

Определение. Уравнение

(1)

Называется уравнением множества Φ точек плоскости, если координаты каждой точки удовлетворяют уравнению (1) и обратно, если каждая точка плоскости, координаты которой удовлетворяют (1), принадлежит Ф.

Например, уравнение является уравнением окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Уравнение

Задает ту же окружность, так как ему удовлетворяют все её точки и только они. Уравнение же не будет уравнением этой окружности, т. к. ему удовлетворяют ещё и другие точки. Уравнение также не является уравнением рассматриваемой окружности, т. к. на ней есть точки (например, ), которые этому уравнению не удовлетворяют.

Аналогично определяется уравнение пространственного множества точек.

Определения. Уравнение (или ) называется Векторным уравнением множества Ф, если радиус-вектор каждой точки удовлетворяет этому уравнению и обратно, если каждая точка, чей радиус-вектор удовлетворяет уравнению, принадлежит Ф.

Уравнение называется Векторным параметрическим уравнением множества Ф, если и обратно, если такое, что .

Уравнения

,

Называются Параметрическими уравнениями Множества Ф, если точка и обратно, если такое, что , , .

Вывод. Для того чтобы составить уравнения какого-то множества точек, следует придумать условие, которому удовлетворяют все точки этого множества и только они, и записать это условие в векторном виде, либо в координатах.

§2 Основные виды уравнений плоскости

Общее уравнение плоскости

Определение. Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости.

Если в пространстве заданы ненулевой вектор и точка , то в пространстве существует единственная плоскость P, проходящая через перпендикулярно вектору . Составим ее уравнение (см. рис.1).

Отсюда и получаем уравнения плоскости:

, (1′)

,

Рис.1. . (1)

Уравнения (1′) и (1) называются Общими уравнениями плоскости в векторной форме.

Запишем теперь эти условия в координатах. Пусть , , . Так как вектор ненулевой, то

. (2)

Из (1′) получаем:

. (3)

Если обозначить , то уравнение (3) примет вид:

. (4)

Уравнение (4) называется Общим уравнением плоскости. Следует помнить, что в общем уравнении плоскости коэффициенты при неизвестных – это координаты нормального вектора.

Определение. Уравнение (4) с условием (2) называется уравнением Первой степени.

Теорема. Если в пространстве задана ортонормированная система координат, то всякая плоскость может быть задана уравнением первой степени. Обратно: всякое уравнение первой степени в ортонормированной системе координат в пространстве задает плоскость.

►Первое утверждение уже доказано. Докажем обратное. Пусть задано уравнение (4) с условием (2) и пусть, например, . Положим и , и составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку перпендикулярно вектору , используя (3):

.

Полученное уравнение, очевидно, совпадает с уравнением (4). Таким образом, плоскость Р И есть искомая.◄

Параметрические уравнения плоскости.

Пусть в пространстве заданы два неколлинеарных вектора и и точка . Тогда в пространстве существует единственная плоскость P, проходящая через параллельно векторам И . Составим её уравнение (рис. 2).

Рис. 2.

— компланарны} — компланарны}.

Тогда по критерию компланарности

, (5′)

Или

. (5)

Уравнения (5′) и (5) называются Векторными параметрическими уравне-ниями плоскости.

Пусть теперь векторы И заданы своими координатами: , , и, как обычно, , . Переписав уравнение (5) в координатах, получаем Параметрические уравнения плоскости:

.

Заметим, что в параметрических уравнениях плоскости коэффициенты при параметрах и — это координаты векторов, ей параллельных, а свободные члены – координаты некоторой точки этой плоскости.

Вспомним ещё один критерий компланарности: три вектора компланарны в том и только в том случае, когда их смешанное произведение равно нулю. Так как смешанное произведение в координатах вычисляется через определитель третьего порядка, получаем ещё одно уравнение плоскости:

. (6)

После преобразований из (6) получается общее уравнение плоскости.

Вывод: чтобы составить уравнение плоскости надо знать какую-нибудь её точку и либо нормальный вектор плоскости, либо два неколлинеарных вектора, которые этой плоскости параллельны.

§ 3. Основные виды уравнений прямой в пространстве

Определение. Направляющим вектором прямой называют любой ненулевой вектор, параллельный этой прямой.

Если в пространстве заданы точка

и вектор , то в пространстве существует

единственная прямая , проходящая через

точку параллельно вектору . Составим

ее уравнение.

Имеем (рис.1):. Так

как , на основании одного из кри-

териев коллинеарности получаем:

Рис. 1

. (1′)

Раскрыв скобки в (1′) и обозначив , получим ещё одно уравнение:

. (1)

Уравнения (1) и (1′) называются Векторными уравнениями прямой в пространстве. Ещё один критерий коллинеарности (Т — 1 § 1 главы 1) приводит нас к следующим уравнениям:

, (2′)

Или

(2)

Уравнения (2) и (2′) называются Векторными параметрическими Уравнениями прямой.

Предположим, что в заданной системе координат , , . Записав уравнение (2) в координатах, получаем Параметрические уравнения прямой в пространстве:

.

В параметрических уравнениях прямой коэффициенты при — координаты направляющего вектора прямой, а свободные члены – координаты некоторой её точки.

И, наконец, на основании школьного критерия коллинеарности (пропорциональность координат) записываем уравнения:

,

Которые называются Каноническими уравнениями прямой в пространстве. Кроме того, прямую в пространстве можно задать в виде пересечения непараллельных плоскостей, т. е. в виде системы уравнений:

—

Векторная форма записи, или

,

Где коэффициенты при неизвестных непропорциональны, — координатная форма записи.

Вывод: для того чтобы составить уравнения прямой в пространстве следует знать ее направляющий вектор и какую-либо точку, кроме того, прямую в пространстве можно задать пересечением двух непараллельных плоскостей.

§ 4. Основные виды уравнений прямой на плоскости

Параметрические и каноническое уравнения

Пусть на плоскости заданы точка и вектор , тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку параллельно вектору. Запишем её уравнения по аналогии с соответствующими уравнениями прямой в пространстве (см. § 3):

, —

Векторные параметрические уравнения;

—

Параметрические уравнения прямой на плоскости;

—

Каноническое уравнение прямой на плоскости. Следует помнить, что в этих уравнениях — координаты некоторой фиксированной точки на заданной прямой, а — координаты её направляющего вектора.

Общее уравнение прямой на плоскости

Определение. Нормальным вектором прямой на плоскости называют любой ненулевой вектор этой плоскости, перпендикулярный заданной прямой.

Пусть на плоскости заданы точка и вектор . Тогда на этой плоскости существует единственная прямая , проходящая через точку перпендикулярно вектору . Её уравнения записываются по аналогии с уравнениями плоскости (см. § 2):

, , —

Общие уравнения прямой на плоскости в векторной форме.

Если , , ,, получаем следующие уравнения прямой на плоскости:

И

, (1)

Причем . Уравнение (1) называется общим уравнением прямой на плоскости. Как и для плоскости, в общем уравнении прямой на плоскости коэффициенты при неизвестных – координаты нормального вектора этой прямой.

Теорема. Если на плоскости задана ортонормированная система координат, то всякая прямая на этой плоскости может быть задана уравнением первой степени. Обратно: всякое уравнение первой степени в ортонормированной системе координат на плоскости задает прямую.

Доказывается так же, как и аналогичная теорема для плоскости.

§5. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние

От точки до плоскости

Пусть на плоскости заданы прямая своим общим уравнением и некоторая точка . Найдем расстояние от точки до заданной прямой.

Пусть — некоторая фиксированная точка на прямой , — её нормальный вектор. Обозначим основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую и О, как обычно – начало координат. Обозначим также и — радиус-векторы точек и соответственно (рис 1). Тогда

.

Таким образом, Расстояние от точки до прямой на плоскости численно равно модулю результата подстановки координат точки в общее уравнение этой прямой, деленному на длину нормального вектора.

Обозначим . Из рисунка 1 легко вытекает справедливость следующего утверждения: всякая прямая на плоскости с уравнением делит плоскость на две полуплоскости так, что для всех точек одной полуплоскости результат подстановки координат точки в общее уравнение прямой есть число положительное , а для всех точек другой – отрицательное .

Пусть теперь в пространстве заданы плоскость своим общим уравнением и точка .Точно так же, как и для прямой на плоскости, доказывается утверждение: Расстояние от точки до плоскости численно равно модулю результата подстановки координат точки в общее уравнение плоскости, деленному на длину нормального вектора, т. е. справедлива формула:

.

Верно и следующее утверждение: любая плоскость делит пространство на два полупространства, так, что для всех точек одного полупространства результат подстановки координат точки в общее уравнение есть число положительное, а для всех точек другого – отрицательное.