,
(1), где
— постоянные вещественные числа,
— непрерывны в интервале (a, b).
Так как общее решение неоднородной системы связано с построением общего решения соответствующей однородной системы, то, естественно, сначала рассмотрим однородную систему ,
(2).
Фундаментальная система решений, из ранее доказанного, существует в интервале .
Для системы (2) всегда можно построить ФСР из элементарных целых функций.
Решение системы (2) будем искать в виде ,
(3).
Подставляя (3) в (2), получаем ,
.
Сокращая на , имеем линейную однородную систему относительно
,
.
(4).
Нетривиальное решение система (4) имеет, когда определитель её равен нулю, т. е. (5).
Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы (2), а корни его называются характеристическими числами. представляет собой многочлен степени n относительно λ.
Случай 1. Все корни характеристического многочлена — действительные и различные, т. е.
.
Покажем, что в этом случае ранг матрицы
Равен n-1.
Рассмотрим:
Где — алгебраические дополнения элемента
определителя
.
Следовательно, хоть один из определителей (n-1)-го порядка отличен от нуля.
Система (4) имеет ненулевое решение, которое определяется с точностью до множителя. Таким образом, получим n решений системы (2).
(6) — ФСР системы (2).
Поэтому, в силу основной теоремы, общее решение системы (2) в области ,
имеет вид:
(7).
Пример.
(8).
Подставляя в систему (4), получаем:
.
Аналогично находим при :
.
.
(9) – общее решение системы (8).
Случай 2. Все корни различны, но среди них имеются комплексные.
A + ib u a – ib — простые корни характеристического уравнения. Корню a + ib, согласно формуле (3), соответствует решение
— комплексные числа. Поэтому y1,…, yn – комплексное решение.
Отделяя в нём вещественную и мнимую части, получим два вещественных решения. Сопряжённый корень a – ib не порождает новых вещественных решений.
Итак, паре комплексно сопряжённых корней соответствует два вещественных линейно независимых решения.
Пример. (10)
(11) – общее решение данной системы.
Случай 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.
Как построить в этом случае ФСР для системы (2) даёт ответ следующая теорема.
Теорема.
Если есть характеристическое число кратности k, то ему соответствует решение вида
, где P1(x), P2(x),…, Pn(x) – полиномы от х степени, не превышающей k-1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов. Полиномы могут вырождаться в постоянные числа. В таком случае k-кратному характеристическому числу
будет соответствовать решение вида
. Но среди коэффициентов
k коэффициентов являются произвольными.
Пример.
(12)
λ=-2 — корень кратности два, ему соответствуют решения
(13). Сокращая их на
и подставляя
в систему (12), получаем:
(14).
Сравнивая в системе (14) коэффициенты при одинаковых степенях, получаем следующие соотношения:
.
Положим :
.
Положим :
.
Таким образом, (15).
(15) – общее решение системы (12).