ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ (ВЕКТОРНЫЕ) ПРОСТРАНСТВА

Занимаясь математикой, мы встречались с различными множествами, которые в чем-то похожи друг на друга. Так, при изучении множеств всех свободных векторов, всех матриц одинаковых размеров, всех функций, заданных на действительной прямой, замечаем, что во всех этих множествах определены операции сложения и умножения на число, причем обладают эти операции одинаковыми свойствами. В связи с этим нет необходимости каждое из перечисленных множеств изучать в отдельности. Все похожие множества мы объединяем в одну Категорию и изучаем одновременно на основании общих свойств одинаковых операций. Конечно, каждое из множеств обладает и какими-то особенностями. Например, во множестве свободных векторов определены операции векторного и смешанного произведения, во множестве матриц — транспонирование, а во множестве функций — дифференцирование. При изучении категорий мы отвлекаемся от различий входящих в нее множеств, а изучаем только их общие качества. Итак, сейчас мы приступаем к изучению первой категории в нашем курсе – категории линейных пространств.

§1. Определение линейного пространства и простейшие следствия из аксиом

Будем называть Полем и обозначать буквой Р множество действительных либо множество комплексных чисел.

Пусть V – множество элементов произвольной природы. Говорят, что в V Задана Внутренняя операция, если задан закон, по которому каждой паре элементов X И Y, Принадлежащих V , Ставится в соответствие элемент Z, также принадлежащий V.

Примерами внутренних операций являются: сложение во множествах чисел, матриц, векторов, функций; умножение во множестве чисел, векторное произведение.

Пусть теперь V – множество элементов произвольной природы, Р – поле действительных или комплексных чисел. Говорят, что в V Задана Внешняя операция – умножение на числа из Р – Если задан закон, по которому каждой паре элементов XV И αР ставится в соответствие элемент .

Примерами внешних операций являются: умножение чисел (V= Р =R, Или V = Р = С, Или V = C, P = R), умножение вектора на число, умножение матрицы на число.

В определении линейного пространства участвуют два множества: множество элементов произвольной природы V и поле Р действительных либо комплексных чисел. Чтобы их различать, будем элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами со стрелками , а элементы поля Р – числа – малыми греческими буквами (α,β…).

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем Р называется множество V Элементов произвольной природы, в котором заданы две операции: внутренняя – сложение, и внешняя – умножение на числа из Р , причём эти операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1*. —Коммутативность сложения;

2*. —Ассоциативность сложения;

3*. -существование нейтрального элемента);

4*. -существование противоположного элемента;

5*. ;

6*. ;

7*. ;

8*. .

Если P = R, то линейное пространство называется действительным, если Р = С, то – комплексным.

Упражнение. Может ли действительное линейное пространство состоять только из одного элемента? Только из двух элементов?

Примеры линейных пространств

1. V = V3 – множество свободных векторов, Р = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение вектора на число. Мы видим, что аксиомы линейного пространства просто «списаны» со свойств сложения векторов и умножения вектора на число. Поэтому линейное пространство и имеет второе название – векторное, а элементы произвольного линейного пространства называются векторами.

2. V = R, P = R. Внутренняя операция – сложение, внешняя – умножение чисел. Очевидно, все аксиомы выполняются, поэтому поле действительных чисел является действительным линейным пространством. Точно так же поле комплексных чисел является комплексным линейным пространством.

3. V = C, P = R. Внутренняя операция–сложение комплексных чисел, внешняя – умножение комплексного числа на действительное. Очевидно, и в этом случае аксиомы выполняются. Значит, множество комплексных чисел является как комплексным, так и действительным линейным пространством.

4. — .Множество матриц размеров с элементами из Р — линейное пространство над полем Р относительно обычных операций сложения матриц и умножения матрицы на число.

5. — множество всех решений однородной системы линейных уравнений – линейное пространство относительно обычных операций сложения решений и умножения решения на число.

6. V=F(R) — множество всех функций, определённых на всей действительной прямой – действительное линейное пространство относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число.

7. V = C[A,B] — множество всех функций, непрерывных на отрезке [A,B], – действительное линейное пространство относительно тех же операций.

8. Пусть — множество упорядоченных наборов N Действительных чисел, P = R. Введём в операции сложения и умножения на число следующим образом: положим

Таким образом, в Эти операции являются соответственно внутренней и внешней. Проверим выполнение аксиом.

1*. ;

2*.

3*.

4*.

;

5*.

Аналогично проверяется выполнение оставшихся трёх аксиом.

Точно так же можно показать, что множество

Является как комплексным, так и действительным линейным пространством относительно тех же операций.

Чтобы не создалось иллюзии, что все множества, элементы которых можно складывать и умножать на числа, будут линейными пространствами, приведём примеры множеств, которые таковыми не являются.

1. Множество натуральных чисел не является действительным линейным пространством относительно обычных операций, так как операция умножения натурального числа на действительное не является внешней (например, ).

2. Множество всех разрывных на отрезке [A,B] функций не является действительным линейным пространством относительно обычных операций сложения функций и умножения функции на число, так как операция сложения не является внутренней (при сложении разрывных функций может получиться непрерывная).

3. Пусть Введём в Внутреннюю и внешнюю операцию следующим образом:

Так как операция сложения введена обычным образом, то она удовлетворяет всем аксиомам для нее.

Проверим выполнение аксиом для операции умножения на число.

5*.

6*.

7*.

8*. , если .

Итак, введённые здесь внутренняя и внешняя операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства за исключением одной, последней, про которую студенты часто забывают, считая её очевидной.

Простейшие следствия из аксиом.

Линейное пространство впредь будем обозначать буквой V.

1º.В линейном пространстве существует единственный нейтральный элемент.

►Предположим, что в некотором линейном пространстве есть два

Нейтральных элемента: и . Тогда

Итак, мы пришли к противоречию.◄

2º.В линейном пространстве, каждый элемент имеет единственный противоположный.

►Предположим, что некоторый элемент имеет два различных противоположных — и , то есть . Получаем:

—

Опять пришли к противоречию.◄

3º.

►◄

Замечание. При доказательстве следствий можно использовать либо аксиомы, либо уже доказанные следствия.

4º.

►

Таким образом, — противоположный к . Поэтому, на основании 2-го следствия, ◄

5º.

►◄

6º. В линейном пространстве из равенства вытекает: либо , либо .

►а) – утверждение верно.

в) Тогда имеем:

◄

§2. Линейная зависимость и независимость элементов

Линейного пространства

Определение. Система элементов

(1)

Линейного пространства над полем Р называется Линейно зависимой, если существуют числа из поля Р, не все равные 0, такие, что

. (2)

Система (1) называется Линейно независимой, если равенство (2) выполняется Только в том случае, когда

, (3)

Т. е. когда из равенства (2) вытекает (3).

Примеры линейной зависимости и независимости

1. V = C, P = C; . Положим . Очевидно, , значит, 1 и I линейно зависимы над полем С.

2. V = C, P = R; . В этом случае в качестве и комплексные числа использовать нельзя. Составим равенство (2):

, . (4)

В равенстве (4) числа и — соответственно действительная и мнимая части комплексного числа, которое равно 0, поэтому равны 0 и его действительная и мнимая части, т. е. . Таким образом, числа 1 и I над полем действительных чисел линейно независимы.

3. Так как

То существуют числа , среди которых есть отличные от нуля, такие, что равенство (2) выполняется, и т. о., рассматриваемые функции линейно зависимы.

4. В следующих двух примерах приведем два основных метода доказательства линейной независимости функций.

А) Метод частных значений. Составляем равенство (2):

(5)

Заметим, что в правой части равенства (2) – нейтральный элемент линейного пространства, значит, в правой части (5) – нейтральный элемент пространства функций, т. е. функция, тождественно равная 0. Равенство (5) следует понимать как равенство функций, оно справедливо для всех . Например, получаем:

Таким образом, рассматриваемая система функций линейно независима.

Б) Используем производные. Составляем равенство (2):

(6)

Равенство (6) справедливо опять же для любого , т. е. функция

Тождественно равна 0, значит, тождественно равна 0 и любая её производная. Имеем:

При получаем: =0, следовательно, эта система функций линейно независима.

(7)

Составляем линейную комбинацию и приравниваем её нейтральному элементу:

Следовательно, система (7) линейно независима.

(8)

Как обычно, составляем линейную комбинацию и приравниваем ее нейтральному элементу:

И поэтому, система (7) линейно независима.

Упражнение. Докажите, что для любого натурального система функций линейно независима.

Простейшие свойства линейной зависимости.

1º.Система, содержащая нейтральный элемент, линейно зависима.

►Пусть система

(9)

Содержит нейтральный элемент и пусть, например, . Положим

(10)

Среди чисел (10) есть отличные от нуля и

Значит, система (9) линейно зависима. ◄

2º. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

►Пусть система (9) содержит линейно зависимую подсистему и пусть, например, подсистема

Линейно зависима. Это означает, что существуют числа

(11) не все равные 0, такие, что . Положим

(12)

Среди чисел (12) есть отличные от 0, так как таковые есть среди чисел (11), и

Таким образом, исходная система линейно зависима. ◄

Следствие. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

3º Критерий линейной зависимости. Для того чтобы система векторов была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы один из векторов можно было представить в виде линейной комбинации остальных.

►Необходимость. Дано: система линейно зависима. Значит, существуют числа , не все равные 0, такие, что справедливо равенство

. (13)

Пусть, например, Тогда из (13) можно выразить :

Что и требовалось доказать.

Достаточность. Дано: один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных, например, Положим

(14)

Cреди чисел (14) есть отличные от 0 и , значит, исходная система линейно зависима. ◄

4º. Пусть система

(15)

Линейно независима, а система

— (16)

Линейно зависима. Тогда можно представить в виде линейной комбинации элементов системы (15).

►В силу линейной зависимости системы (16) существуют числа не все равные 0 такие, что

(17)

Предположим, что Значит, среди чисел есть отличные от нуля, и из (17) вытекает, что что противоречит линейной независимости (15). Таким образом, , и из (17) получаем требуемое утверждение.◄

5º. Для того чтобы система из одного элемента была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы он был нулевым.

►Достаточность вытекает из первого свойства.

Необходимость. Пусть система линейно зависима, тогда существует число такое, что . Значит, на основании 6-ого следствия из аксиом (§1), .◄

Следующие два свойства формулируем для пространства свободных векторов.

6º.Для того чтобы два вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными.

►Доказательство вытекает из третьего свойства и критерия коллинеарности из аналитической геометрии ◄

7º. Для того чтобы три вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.

►Доказательство вытекает из третьего свойства и критерия компланарности. ◄

§3. Базис и координаты в линейном пространстве

Определение. Базисом линейного пространства V Над полем Р называется упорядоченная система

(1)

Элементов этого пространства, удовлетворяющая следующим условиям:

1*., такие, что

(2)

2*. Система (1) линейно независима.

Если система (1) удовлетворяет только одному первому условию, то она называется Системой образующих линейного пространства V. Таким образом, базис линейного пространства – это его линейно независимая система образующих.

Числа в равенстве (2) называются Координатами вектора в базисе (1), а само равенство (2) – разложением вектора по базису (1). Таким образом, координаты вектора в данном базисе – это коэффициенты в разложении этого вектора по базису.

Примеры

1. Вспомним, что в пространстве свободных векторов мы назвали базисом любую упорядоченную тройку некомпланарных (т. е. линейно независимых) векторов и показали, что всякий вектор можно по этому базису разложить. Таким образом, мы видим, что понятие базиса в произвольном линейном пространстве – это обобщение понятия базиса в пространстве свободных векторов.

2. Так как , то () — линейно независима. Кроме того, , а значит, система () является и системой образующих и, поэтому, базис.

3. .. Таким образом, (1, I) – система образующих в C над R, линейная независимость которой доказана в §2. Значит – это и базис.

(3)

Тогда

Следовательно, (3) – система образующих пространства . В §2 доказано, что эта система линейно независима, значит, она является и базисом линейного пространства .

5. Базисом в пространстве является фундаментальная система решений.

6. ,

(4)

Очевидно, поэтому (4) – система образующих пространства . Так как эта система ещё и линейно независима (см. §2), то она является базисом пространства . Этот базис впредь будем называть каноническим.

Свойства координат векторов

1º. Если все координаты вектора в некотором базисе равны нулю, то этот вектор – нулевой.

►Доказательство очевидным образом вытекает из аксиом линейного пространства и следствий к ним: . ◄

2º. Все координаты нулевого вектора в любом из базисов равны нулю.

►Пусть

() — (5) базис линейного пространства ,

(6)

Разложение нулевого вектора по базису (5). В силу линейной независимости (5) из (6) вытекает, что . ◄

3º. Координаты вектора в данном базисе определяются однозначно.

►Пусть некоторый вектор в базисе (5) имеет два разных набора координат: и . Тогда

()=

=[аксиомы 1*,2* и 6* из определения линейного пространства]=

= (7)

Равенство (7) – это разложение по базису (5) нулевого вектора, и поэтому, все коэффициенты разложения равны нулю, следовательно, , что противоречит условию. ◄

4º. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

► Пусть заданы векторы своими координатами в базисе (5), и пусть Тогда

(8)

Равенство (8) – это разложение вектора по базису (5), следовательно, коэффициенты разложения – координаты вектора в базисе (5). В силу единственности координат вектора в данном базисе, получаем: ◄

5º. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Свойство доказывается точно так же, как и предыдущее, это вы можете сделать самостоятельно.

Следствие. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же (то есть с такими же коэффициентами) линейным комбинациям соответствующих координат слагаемых, то есть, если и то

Матричный критерий линейной зависимости и независимости

Пусть в линейном пространстве V задан некоторый базис, тогда каждый вектор можно разложить по этому базису.

Координатным столбцом вектора в заданном базисе будем называть столбец , составленный из координат вектора в этом базисе.

Лемма. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы их координатные столбцы в некотором базисе были линейно зависимыми.

► Пусть заданы векторы

, (9)

— их координатные столбцы в некотором базисе. Одновременно проводим доказательство и необходимости, и достаточности. Согласно следствию из свойств координат векторов, координатный столбец линейной комбинации векторов равен такой же линейной комбинации координатных столбцов векторов-слагаемых. Имеем:

{(9) линейно зависима}

, не все равные нулю, что

, не все равные нулю, что {столбцы линейно зависимы}.◄

Теорема (матричный критерий). Для того чтобы система векторов

Была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов в некотором базисе, был меньше количества векторов.

Для того, чтобы система векторов была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленной из координатных столбцов этих векторов, был равен их количеству.

Доказательство вытекает из доказанной выше леммы и из теоремы 2 §3 главы 2.

§4.Размерность линейного пространства

Определение. Число N называется Размерностью линейного пространства V, а само пространство V называется N-мерным, если в V существует линейно независимая система из N векторов, а любая система из (N+1)- го вектора линейно зависима. Пространство считается 0-мерным.

Следствие. В N-мерном пространстве любая система из M векторов при M>N линейно зависима.

Размерность линейного пространства V сокращенно обозначается . Если , то пространство будем обозначать . Линейные N – мерные пространства называются конечномерными.

Определение. Линейное пространство V называется Бесконечномерным, если в V найдется линейно независимая система из N векторов.

Теорема 1. Для того чтобы линейное пространство V было N-мерным необходимо и достаточно, чтобы в нем существовал базис, состоящий из N векторов.

► Достаточность. Дано: в пространстве V существует базис из N векторов

(). (1)

Тогда в V есть линейно независимая система из N векторов (это система (1)). Покажем, что любая система из (N+1)-го вектора в этом пространстве линейно зависима. Выберем одну из них:

(). (2)

Каждый вектор системы (2) можно разложить по базису (1). Обозначим — координатные столбцы векторов системы (2) в базисе (1). Тогда

(так как эта матрица имеет только N строк). По матричному критерию, система (2) линейно зависима и, таким образом, .

Необходимость. Дано: . Согласно определению, в пространстве существует линейно независимая система из элементов. Пусть

() — (3)

Одна из таких систем. Но система

() (4)

Линейно зависима. По 4-му свойству линейной зависимости (§2) вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов системы (3), т. е.

Таким образом, (3) – система образующих пространства V, а значит, и его базис. ◄

Замечание. При доказательстве необходимости мы одновременно показали, что в N-мерном пространстве Любая линейно независимая система из N векторов является базисом.

Следствие. Любой базис конечномерного линейного пространствф V содержит одинаковое количество векторов.

►Пусть в пространстве наряду с базисом (3) есть еще и некоторый базис

(), (5)

Состоящий из M векторов (M≠N). Рассмотрим два случая:

А) M>n. Тогда (5) линейно зависима согласно следствию к определению размерности, что противоречит определению базиса.

Б) M<N. Так как (5) – базис пространства , то согласно теореме 1, , поэтому система (3) линейно зависима, что противоречит определению базиса. Таким образом, M=N. ◄

Вывод: размерность линейного пространства совпадает с количеством векторов в любом из его базисов.

Используя примеры базисов, приведенные в §3, можно утверждать, что: , , , , , . Примером бесконечномерного пространства может служить пространство всех функций.

Упражнение. Докажите, что .

Теорема 2. В N—Мерном линейном пространстве любую линейно независимую систему из M векторов при M<N можно дополнить до базиса.

►Пусть

— (6)

Линейно независимая система пространства . Предположим, что система линейно зависима. Тогда, на основании свойства 4º §2, вектор можно выразить через векторы системы (6), поэтому (6) — система образующих, а значит, и базис пространства , следовательно, , что противоречит условию. Таким образом, такой, что система

— (7)

Линейно независима. Если M+1=N, то (7) – базис пространства . В противном случае с системой (7) поступаем так же, как и с системой (6). После конечного числа шагов получаем базис пространства .◄

§ 5. как пример аффинного, евклидова и метрического

Пространства

Определение. Пусть А — множество элементов произвольной природы, V-действительное линейное пространство. А Называется Аффинным Пространством, связанным с линейным пространством V, если задан закон, по которому каждой паре элементов , где , ставится в соответствие элемент , причем выполняются две аксиомы:

1*. (рис. 1);

2*. единственный такой, что . Этот вектор обозначается . Таким образом, (рис. 2).

Элементы аффинного пространства называются точками, а операция в аффинном пространстве называется откладыванием вектора от точки.

Рис. 1. Рис.2.

Как видим, аксиомы аффинного пространства просто «списаны» со школьного точечного трехмерного пространства.

Простейшие следствия из аксиом

1°.

U . С другой стороны, [1*] = На основании второй аксиомы, получаем требуемое. t

2°.

UЕсли содержит одну точку, то утверждение очевидно. Если же не одну, то T

3°.

U Но и . Поэтому, на основании второй аксиомы, получаем: , что равносильно доказываемому утверждению. t

Если V — N-мерное пространство, то связанное с ним аффинное пространство тоже называется N-мерным и обозначается .

Системой координат в аффинном пространстве называется совокупность точки — начала координат, и базиса линейного пространства .

Пусть в пространстве задана система координат

. (1)

Тогда каждой точке соответствует единственный вектор , который называется Радиус-вектором точки М. Координатами точки М в системе координат (1) называются координаты ее радиус-вектора в базисе .

Выберем в две произвольные точки М и N. Имеем:

. (2)

Так как координаты точки совпадают с координатами ее радиус-вектора, то из (2) получаем вывод, который звучит так же, как известное школьное утверждение: чтобы найти координаты вектора, следует от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.

Важнейшим примером аффинного пространства является пространство . Положим

Для любых и определим операцию . Проверим выполнение аксиом:

1*.

2*. положим

Тогда

Предположим, что существует вектор такой, что . Пусть . Значит, . Так как , то и, поэтому, . Следовательно, — противоречие.

Таким образом, пространство с введенной в нем операцией откладывания вектора от точки становится N—Мерным аффинным или точечным пространством. Упорядоченные наборы из Чисел, в зависимости от контекста, рассматриваются либо как векторы, либо как точки, а операция складывания упорядоченных наборов, опять же в зависимости от контекста, рассматривается либо как сложение векторов, либо как откладывание вектора от точки.

В качестве системы координат в выбирают, как правило, следующую:

Эта система координат удобна тем, что в ней координаты точек и векторов совпадают с упорядоченными наборами, изображающими эти точки или векторы.

Введем в еще одну операцию. Скалярным произведением векторов и Пространства назовем число

Свойства скалярного произведения:

1°.

2°.

3°.

4°. причем

Свойства 1° — 4° вы легко докажете в качестве упражнения, исходя из определения скалярного произведения в .

Пространство с введенной в нем операцией скалярного произведения называется Евклидовым пространством (подробно категорию евклидовых пространств мы будем изучать в шестой главе).

Из свойства 4° Скалярного произведения видно, Что . Это позволяет ввести в понятие длины вектора.

Длиной вектора называется число .

Очевидно, если , то , то есть, как и в школьной математике, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Приведем без доказательства еще два свойства скалярного произведения (доказывать их будем в 6-й главе).

Неравенство Коши-Буняковского:

, или ;

Неравенство треугольника:

или, .

Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что , что позволяет в ввести понятие угла между векторами.

Углом между ненулевыми векторами и пространства называется угол такой, что

Введем еще в понятие расстояния между точками.

Расстоянием между точками М и N в пространстве называется число . Если , а , то

Таким образом, как и в школьной математике, расстояние между двумя точками в пространстве Равно корню квадратному из суммы квадратов разностей их соответствующих координат.

Свойства расстояния

1°.

2°.

3°. (неравенство треугольника).

UВытекает из равенства и неравенства треугольника для векторов. t

Пространство с введенным таким образом расстоянием между двумя точками называется Метрическим Пространством.

Таким образом, замечательное пространство — это линейное, аффинное (точечное), евклидово и метрическое пространство.

§ 6. Подпространства линейного пространства

Определение. Подмножество W линейного пространства V над P Называется его подпространством, если оно само является линейным пространством относительно операций, заданных в V.

Например, R является подпространством пространства С над R (но не С над С), пространство всех непрерывных функций – подпространство пространства функций, заданных на всей числовой прямой. Любое линейное пространство V Имеет два тривиальных подпространства: V и .

Теорема. Для того чтобы непустое подмножество W линейного пространства V Над P было его подпространством необходимо и достаточно, чтобы W было замкнуто относительно операций, заданных в V, т. е., чтобы выполнялись условия:

UНеобходимость. Пусть W – подпространство пространства V, значит W – само линейное пространство относительно тех же операций, поэтому внутренняя и внешняя операции в V являются соответственно внутренней и внешней для W, а значит, условия 1 и 2 выполняются.

Достаточность. Пусть теперь выполняются условия 1 и 2. Тогда операции, заданные в V, для W являются соответственно внутренней и внешней. Остается доказать выполнение аксиом из определения линейного пространства.

Аксиомы 1*,2* и 5* — 8* в W выполняются, так как они выполняются в V (например,).

Если — нейтральный элемент в V, то, конечно же, Но попал ли в W? Так как , то , и тогда, на основании 2-го условия, Таким образом, если W замкнуто относительно внешней операции, то оно обязательно содержит нейтральный элемент пространства V, а значит, аксиома 3* из определения линейного пространства выполняется.

Пусть . Тогда и .Опять вопрос: попал ли в W? И опять, на основании второго условия теоремы, , а значит, и аксиома 4* из определения линейного пространства также выполняется. t

§ 7. Линейные оболочки

Определение. Линейной оболочкой системы элементов

(1)

Линейного пространства V над P называется множество

Т. е. это множество всевозможных линейных комбинаций элементов этой системы (1).

Примерами могут служить: — множество всех векторов, параллельных плоскости XOy, ,совпадающая с предыдущей, — множество многочленов степени не выше двух.

Теорема 1. Линейная оболочка произвольной системы векторов линейного пространства V над P является его подпространством, причем размерность линейной оболочки совпадает с максимальным количеством линейно независимых векторов в этой системе.

► Выберем произвольные векторы и произвольное число ,

Тогда , а также,

Таким образом, на основании теоремы §6, является подпространством пространства V.

Пусть M – максимальное количество линейно независимых элементов в (1) ( и пусть подсистема

— (2)

Линейно независима (если это не так, переставим линейно независимые элементы на первые места). Имеем, во-первых,

Во-вторых, так как M – максимальное количество линейно независимых элементов в (1), то, система линейно зависима, а значит, на основании свойства 4º линейной зависимости (§2),

такие, что .

Следовательно,

[замена индекса] = =

Таким образом, (2) – система образующих в , а значит, и базис, поэтому .t

Теорема 2. Размерность линейной оболочки строк (столбцов) матрицы А равна ее рангу.

UДоказательство проведем для строк матрицы. Пусть , и пусть базисный минор матрицы А расположен в первых R её строках. Обозначим, как и раньше, — строки матрицы А. Тогда, по теореме о базисном миноре, система линейно независима, и такие, что Дальше точно так же, как и при доказательстве теоремы 1, показываем, что — система образующих в , а значит, и базис, и поэтому, . Для столбцов доказательство проводится аналогично. t

Следствие. Ранг матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых ее строк (столбцов).

UПусть , а максимальное число линейно независимых строк матрицы равно K.Тогда

K = [теорема 1] = [теорема 2] = R. t

§ 8. Сумма и пересечение подпространств

Линейного пространства

Определения. Пересечением подпространств и линейного пространства V над P называется его подмножество

Суммой подпространств и называется подмножество

Сумма подпространств называется Прямой и обозначается если .

Теорема 1. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства также являются его подпространствами.

►Пусть и — подпространства линейного пространства V над P. Тогда

Таким образом, выполняются условия теоремы § 6, значит, — подпространство пространства V.

Докажем теперь, что сумма подпространств – подпространство. Действительно,

Итак, в этом случае условия теоремы § 6 также выполняются, и поэтому, — также подпространство пространства V. T

Теорема 2. Размерность прямой суммы подпространств равна сумме их размерностей.

►Пусть и — подпространства линейного пространства V над P, , и пусть

— (1)

Базис , а

— (2)

Базис . Покажем, что

— (3)

Базис .

Действительно, (так как , а ); . Кроме того,

Тогда:

И, таким образом, (3)-система образующих в .

Линейную независимость (3) докажем на основании определения.

. (4)

Вектор в левой части (4) принадлежит пространству , а в правой – пространству . Так как сумма прямая, то , поэтому

На основании линейной независимости (1) и (2), получаем: , откуда и вытекает линейная независимость (3). Таким образом, (3) – линейно независимая система образующих пространства , а значит, и его базис, и поэтому,

§ 9. Преобразования базисов и координат

Будем и в дальнейшем номера базисных векторов обозначать нижними индексами, а номера координат – верхними. Если задана совокупность чисел, снабженная двумя индексами, то договоримся располагать их в матрицу следующим образом: если оба индекса верхние или оба нижние, то первый будем считаеть номером строки, а второй – номером столбца, если один верхний, а один нижний, то номером строки будем считать верхний индекс. Кроме того, примем соглашение Эйнштейна: если в некотором произведении один и тот же индекс встречается дважды – снизу и сверху – то по нему проводится суммирование, и ни один индекс в произведении не должен встречаться более двух раз. При такой договоренности знак суммирования В записи суммы опускается, а область изменения индекса суммирования понимается из контекста, либо указывается дополнительно. Так, например, запись заменяется просто На запись Если и квадратные матрицы

N-го порядка, то запишется так: Если же то Таким образом, в произведении элементы матриц-сомножителей располагаются по правилу цепочки: номер строки элемента каждой матрицы совпадает с номером столбца элемента матрицы предыдущей. Часто приходится по произведению элементов восстанавливать, произведению каких матриц оно принадлежит. Для этого элементы в произведении располагаем опять же по правилу цепочки. Так, например, Элемент произведения ACB, а — элемент

Определение матрицы перехода

Пусть в линейном пространстве заданы два базиса:

(1)

(2)

(принадлежность вектора второму базису отмечается штрихом, причем удобно штрих ставить не на вектор, а на индекс, т. е., например, — пятый вектор второго базиса). Тогда каждый из векторов второго базиса можно разложить по первому. В этом случае все координаты будем обозначать одной и той же ключевой буквой T с двумя индексами, причем нижний индекс будет обозначать номер разлагаемого вектора, а верхний — номер координаты. Таким образом,

(3)

Учитывая нашу договоренность, систему равенств (3) можно сокращенно записать одним равенством:

(4)

(оцените красоту записи!)

Введем следующие обозначения:

(подчеркиваем, что это матрицы-строки),

Тогда =[располагаем по правилу цепочки] = , откуда вытекает, что

. (5)

Матрицей перехода от базиса (1) к базису (2) называется матрица Т=, столбцами которой являются координатные столбцы векторов второго базиса в первом базисе, т. е. матрица, удовлетворяющая системе равенств (3) или (4), либо одному матричному равенству (5).

Свойства матрицы перехода

1º. Матрица перехода от одного базиса к другому определяется однозначно.

►Вытекает из того, что она состоит из координатных столбцов векторов одного базиса в другом.◄

2º. Матрица перехода всегда невырождена.

►На основании матричного критерия линейной независимости.◄

3º. Если Т – невырожденная квадратная матрица N-го порядка и

— (6)

Некоторый базис пространства , то в существует базис

(7)

Такой, что Т – матрица перехода от (6) к (7).

►Пусть Положим (то есть — вектор, чей координатный столбец в базисе (6) совпадает с I-м столбцом матрицы Т). Тогда (7) – линейно независимая система на основании матричного критерия, а значит, в является базисом. Из определения матрицы перехода вытекает, что Т – матрица перехода от (6) к (7).◄

4º. Матрица перехода от базиса к нему самому является единичной.

►Доказательство вытекает из равенства .◄

5º. Если Т-матрица перехода от базиса (6) к базису (7),а — матрица перехода от (7) к базису

, (8)

То матрицей перехода от (6) к (8) является матрица

►Действительно, , , и поэтому, , и утверждение вытекает из определения матрицы перехода.◄

6º. Если Т-матрица перехода от (6) к (7), то матрицей перехода от (7) к (6) является

►(5) , и утверждение опять вытекает из определения матрицы перехода.◄

Замечание. По аналогии с равенством (4) естественно записать равенство , и поэтому, элементы матрицы перехода от (7) к (6) естественно обозначать . Учитывая, что эта матрица есть не что иное, как получаем: Так как и то и

Упражнение. Вычислить

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пусть в линейном пространстве по-прежнему заданы два базиса (6) и (7). Выберем в произвольный вектор . Его можно разложить как по одному базису, так и по другому: и . Тогда