ГЛАВА 4.2 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 10. Теорема о ранге произведения линейных операторов

Пусть — линейный оператор,

— (1)

Базис пространства , а

— (2)

Базис пространства . Аналогично тому, как определялась матрица линейного оператора пространства в себя в заданном базисе, определяется и матрица оператора в паре базисов (1) и (2). Найдем образы векторов базиса (1):

, (3)

Каждый из них разложим по базису (2), обозначим координатный столбец вектора в базисе (2), , и составим систему

(4)

Из этих координатных столбцов.

Матрицей линейного оператора в паре базисов (1) и (2) называется матрица , составленная из координатных столбцов образов векторов базиса (1) в базисе (2). Очевидно, эта матрица имеет размеры .

Нетрудно показать, что при умножении линейных операторов их матрицы в соответствующих парах базисов перемножаются, как это было доказано для случая линейных операторов пространства в себя.

Теорема 1. Пусть — линейный оператор, A его матрица в паре базисов (1) и (2). Тогда .

►В § 3 третьей главы мы показали, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы их координатные столбцы. Поэтому максимальное число линейно независимых элементов в системах (3) и (4) будет одинаковым. Обозначим это число .

Так как каждый из векторов можно разложить по базису (1), то . Следовательно, . Тогда:

[теорема 1 § 7 главы 3] = =

= [теорема 2 § 7 главы 3] = .◄

Следствие. Если — изоморфизм, то матрица A — Невырождена.

Теорема 2. Пусть и — линейные операторы. Тогда , причем, если один из операторов — изоморфизм, то ранг произведения равен рангу второго оператора.

►Обозначим . Нетрудно убедиться, что — подпространство пространства , и поэтому, . Тогда:

=;

=.

Кроме того, если — изоморфизм, то

.

Если же — изоморфизм, то

.◄

Следствие. Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Причем, если один из сомножителей — матрица невырожденная, то ранг произведения равен рангу второго сомножителя.

§ 11. Линейные формы

Определение. Линейной формой на линейном пространстве над полем называется линейный оператор .

Мы уже знаем, что множество всех линейных форм на линейном пространстве также является линейным пространством над тем же полем, что и , относительно операций сложения линейных форм и умножения линейной формы на число. Пространство будем называть сопряженным пространству , и обозначать , его элементы будем называть ковекторами и тоже для удобства отмечать стрелками, но снизу (например, ).

Рассмотрим — мерное линейное пространство и выберем в нем какой-либо базис

. (1)

Пусть — произвольный вектор пространства , — линейная форма. Тогда

. (2)

Мы видим, что значение линейной формы для вектора зависит от его координат и некоторых чисел , вовсе с вектором не связанных. Обозначим и назовем эти числа Компонентами формы в базисе (1). Теперь (2) можно переписать и так: .

Выберем в ещё один базис

(3)

И обозначим компоненты линейной формы в базисе (3).Тогда

= = [определение матрицы перехода] = =

= [линейность ] = .

Мы получили закон изменения компонент линейной формы при изменении базиса.

В пространстве линейных форм выберем линейных форм

(4)

По следующему принципу:

, (5)

Т. е. форма принимает значение, равное 0, для всех базисных векторов, за исключением одного, , для которого она принимает значение, равное 1. Существование таких форм вытекает из теоремы § 2. Докажем линейную независимость (4). Как обычно, составим линейную комбинацию и приравняем её нейтральному элементу.

{(4) линейно независима}.

Пусть теперь — произвольная линейная форма, — её компоненты в базисе (1). Обозначим . Тогда

Таким образом, = , следовательно, система (4) в пространстве является системой образующих, а значит, и базисом. Итак, пространство, сопряженное к конечномерному линейному пространству, имеет ту же размерность. Базисы (1) и (4) пространств и Называются сопряженными или взаимными. Следовательно, компоненты линейной формы в базисе (1) пространства – это её координаты во взаимном базисе пространства .

§ 12. Собственные векторы линейного оператора

Определение. Ненулевой вектор линейного пространства V над полем P называется Собственным вектором линейного оператора , если существует такое число P, что

=. (1)

Число из равенства (1) называется Собственным значением оператора F, соответствующим собственному вектору .

Очевидно, все векторы линейного пространства являются собственными векторами нулевого оператора с собственным значением, равным 0, они же являются собственными векторами тождественного оператора с собственным значением, равным 1. Оператор проектирования трехмерного пространства на ось ОX имеет следующие собственные векторы: векторы, параллельные оси ОX – собственные с собственным значением, равным 1, а векторы, перпендикулярные оси ОX – собственные с собственным значением, равным 0. При любом функция является собственным вектором (или собственной функцией) оператора дифференцирования , причем собственное значение равно .

Свойства собственных векторов

1º. Каждому собственному вектору соответствует единственное собственное значение.

► Предположим, что некоторому собственному вектору соответствуют два разных собственных значения и (). Тогда

. (2)

По шестому следствию § 1 гл. 3, из (2) следует, что , что противоречит определению собственного вектора.◄

2º. Собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы.

►Пусть ,,…, — собственные векторы линейного оператора с собственными значениями соответственно, причем при . Доказательство проведем методом математической индукции по количеству векторов.

A) . Предположим, что векторы линейно зависимы. Тогда один из них можно выразить через другой, например, . Имеем:

,

Откуда получаем, что (т. к. ,), а значит, , что противоречит определению собственного вектора.

Б) Предположим, что утверждение справедливо для (N-1)-го вектора и докажем его справедливость для N векторов. Пусть векторы , ,…, с различными собственными значениями линейно зависимы. Значит, один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных, например,

. (3)

Так как , получаем:

. (4)

По предположению индукции, векторы , ,…, линейно независимы. Поэтому из (4) вытекает, что , Так как , то при . Но тогда из (3) видно, что , что противоречит определению собственного вектора.◄

3º. Множество всех собственных векторов линейного оператора с одним и тем же собственным значением вместе с нулевым вектором является подпространством линейного пространства V.

►Заметим, что состоит из всех векторов, удовлетворяющих условию (1), т. к. при любом . Докажем замкнутость относительно операций, заданных в V. Действительно,

{ ;}{} {};

{ } {} {}.

На основании теоремы §6 главы 3, — подпространство линейного пространства V.◄

4º. Пусть — линейный оператор, — его различные собственные значения. Обозначим

и .

Тогда в существует линейно независимых собственных векторов оператора .

►В каждом из подпространств выберем линейно независимых векторов и покажем, что система — (5)

Линейно независима. Для этого составим её линейную комбинацию и приравняем :

. (6)

Обозначим . Тогда (6) примет вид

,

Откуда вытекает, что система линейно зависима. Поэтому, на основании свойства 2º, не все из векторов являются собственными, т. е. среди них есть нулевые. Пусть, например, . Это означает, что (объясните, почему), и что . Теперь видим, что система линейно зависима. Значит, и среди этих векторов есть нулевые. Пусть, например, со всеми вытекающими отсюда последствиями. После конечного числа шагов получаем, что в (6) все коэффициенты , откуда и следует линейная независимость системы (5).◄

§ 13. Правило нахождения собственных векторов

Пусть — линейный оператор. Выберем в какой-либо базис и обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Если Х – координатный столбец собственного вектора в заданном базисе, а – соответствующее ему собственное значение, то (1) § 5 Равносильно равенству , которое, в свою очередь, равносильно следующему:

. (1)

Равенство (1) можно рассматривать как матричную запись однородной системы линейных уравнений, причем нас интересуют только ее нетривиальные решения. Как следует из §5 главы 2, для существования таковых необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. (2)

Определение. Характеристическим многочленом матрицы А называется многочлен , уравнение (2) называется Характеристическим уравнением Матрицы А, а корни этого уравнения – ее Характеристическими числами.

Лемма 1. Подобные матрицы имеют одинаковые характеристические многочлены.

►Пусть матрицы А и подобны, значит существует невырожденная матрица такая, что . Тогда

Таким образом, матрицы и () тоже подобны, а значит, они имеют одинаковые определители.◄

Эта лемма позволяет сформулировать следующее

Определение. Характеристическим многочленом (характеристическим уравнением, характеристическими числами) линейного оператора называется характеристический многочлен (характеристическое уравнение, характеристические числа) его матрицы в некотором, а значит, и в любом базисе.

Из изложенного выше мы видим, что каждое собственное значение линейного оператора является корнем его характеристического уравнения, т. е. характеристическим числом. Обратно, если – корень уравнения (2) и , то система (1) имеет нетривиальное решение Х0, значит, АХ0=Х0 и тогда, если — вектор, координатный столбец которого в выбранном базисе совпадает с , то, т. е. — собственное значение оператора . Если же , то оно не может быть собственным значением согласно определению.

Итак, собственные значения линейного оператора – это те его характеристические числа, которые принадлежат полю P.

Теперь можно сформулировать следующее правило. Пусть А – матрица линейного оператора в некотором базисе. Чтобы найти собственные векторы оператора поступаем следующим образом:

1) составляем характеристическое уравнение (2) матрицы А и находим его корни . Те из них, которые принадлежат основному полю, являются собственными значениями (т. е., если Р=С, то все, если Р=R – Только действительные);

2) для каждого из полученных собственных значений находим соответствующие ему собственные векторы., решая однородную систему (1) при .

Лемма 2. Если определитель квадратной системы линейных уравнений

AX=О, (3)

Равен нулю, то при любом набор

(,,…,), (4)

Где -алгебраическое дополнение к элементу матрицы А, – решение системы (3).

►Действительно, подставив (4) в каждое из уравнений (3), получаем:

. (5)

Равенство (5) верно, т. к. при его левая часть представляет собой разложение по -ой строке, а при оно верно на основании теоремы аннулирования. ◄

Пример. Найдем собственные векторы линейного оператора , матрица которого в некотором базисе пространства V3 имеет вид

.

▼1. Составляем характеристический многочлен:

.

Характеристическое уравнение оператора выглядит так:

,

А его характеристическими числами будут λ1=2; λ2=3-I; λ3=3+I.

Если P = R, то собственное значение только одно – λ1=2; если же P=C, то все значения будут собственными. Мы рассмотрим случай, когда P=C.

2. λ1=2:

. (6)

Однородная система с матрицей (6) решается устно: . Значит, собственные векторы с этим собственным значением выглядят так:=α(1;0;1), .

λ2=3-I:

. (7)

Так как , то . Поэтому достаточно найти один собственный вектор, а все остальные будут ему коллинеарными. Для нахождения же этого вектора воспользуемся леммой 2 и найдем упорядоченный набор из алгебраических дополнений к элементам, например, первой строки матрицы (7): Тогда все собственные векторы с собственным значением – это

.

λ3=3+I:

(8)

Заметим, что матрицы (7) и (8)- комплексно-сопряженные. Значит, и решения систем с этими матрицами – тоже комплексно-сопряженные, и поэтому, .▲

§14. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Лемма 1. Для того чтобы матрица А линейного оператора в некотором базисе пространства имела диагональный вид необходимо и достаточно, чтобы этот базис состоял из собственных векторов оператора F, причем диагональными элементами матрицы А Являются собственные значения этого оператора.

►Пусть

— (1)

Базис пространства , A – матрица оператора F в этом базисе. Тогда

{А — диагональная}

{(1) состоит из собственных векторов оператора а — его собственные значения}.◄

Определение. Говорят, что квадратная матрица А с элементами из поля P приводится к диагональному виду над P, если существует невырожденная квадратная матрица Т с элементами из P такая, что матрица — диагональная.

Теорема 1. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля P, — линейное пространство над Р, — тот линейный оператор, матрица которого в некотором базисе (1) пространства Совпадает с А. Тогда для приводимости матрицы А к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы в существовал базис, состоящий из собственных векторов оператора F.

►Выберем в еще один базис

(2)

И обозначим Т матрицу перехода от исходного базиса (1) к базису (2). Матрица оператора F В этом базисе имеет вид . Тогда:

{в Базис (2), состоящий из собственных векторов оператора F }

{матрица оператора в базисе (2) диагональная} {А приводится к диагональному виду}.◄

Следствие. Если все характеристические числа матрицы А различны и принадлежат полю Р, то А приводится к диагональному виду над Р.

Замечание. Если матрица А приводится к диагональному виду — матрице , то диагональными элементами последней являются собственные значения матрицы А, а матрица Т, приводящая А к диагональному виду, есть ни что иное, как матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов.

Лемма 2. Пусть — собственное значение кратности линейного оператора . Тогда .

►Предположим, что . Выберем в какой-либо базис и дополним его до базиса

(3)

Пространства . В базисе (3) матрица А оператора F выглядит так:

,

А ее характеристический многочлен (значит, и характеристический многочлен оператора F ) имеет вид:, где -некоторый многочлен степени . Очевидно, — корень характеристического многочлена. Если — кратность , то , что противоречит условию.◄

Теорема 2. Для того чтобы квадратная матрица А N–го порядка приводилась к диагональному виду над полем Р необходимо и достаточно, чтобы все ее характеристические числа принадлежали этому полю, и чтобы для каждого из них выполнялось бы условие

, (4)

Где — кратность корня характеристического уравнения матрицы А.

►Пусть — линейный оператор, построенный в теореме 1. На основании свойства 4º §5 количество всех линейно независимых собственных векторов линейного оператора совпадает с суммой размерностей подпространств по всем собственным значениям . Если это количество линейно независимых собственных векторов обозначать через M, то

.

Тогда

{А приводится к диагональному виду}{в существует базис из собственных векторов оператора F} {любое характеристическое число является собственным значением и } и и .◄

Правило приведения квадратной матрицы к диагональному виду над полем Р

1. Составляем характеристический многочлен матрицы А и находим его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р, то А к диагональному виду не приводится.

2. Если все характеристические числа принадлежат полю Р, то для кратных корней проверяем условие (4) (для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней условие (4) не выполняется, то А К диагональному виду не приводится.

3. Если для каждого из собственных значений условие (4) выполняется, то А к диагональному виду приводится. Записываем этот диагональный вид – матрицу , располагая на ее главной диагонали собственные значения в произвольном порядке, причем каждое из них повторяем столько раз, какова его кратность.

4. Записываем матрицу Т, приводящую А к диагональному виду – матрицу перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов, сохраняя порядок, установленный матрицей .

Пример. Найдем диагональный вид матрицы А и невырожденную матрицу Т, приводящую к этому диагональному виду, если

.

▼1.

2.

,

Следовательно, А к диагональному виду приводится.

3..

4. Находим собственные векторы:

;

Для искомого базиса находим два линейно независимых собственных вектора (фундаментальную систему решений): и .

: ;

( находим с помощью алгебраических дополнений).

4. Записываем T — матрицу перехода от исходного базиса к построенному базису из собственных векторов:

▲

§ 15. Присоединенные векторы линейного оператора

Определение. Если — собственное значение линейного оператора , а система векторов пространства удовлетворяет условиям:

, (1)

То вектор называется I-ым Присоединенным Вектором к собственному вектору линейного оператора .

Теорема. Пусть – линейное пространство над полем Р. Если все характеристические числа линейного оператора принадлежат полю Р, то в существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора F, причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения (без доказательства).

Правило нахождения присоединенных векторов

Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором базисе, — координатный столбец вектора в том же базисе. Тогда в матричном виде уравнение для нахождения будет выглядеть так:

Что равносильно уравнению

. (2)

Таким образом, видим, что для отыскания I-ого присоединенного вектора к собственному вектору с собственным значением следует решить систему линейных уравнений с той же матрицей, что и для отыскания собственного вектора , но неоднородную, причем в качестве столбца свободных членов берется координатный столбец предыдущего присоединенного вектора.

Пример. Найдем базис из собственных и присоединенных векторов линейного оператора , матрица которого в некотором базисе совпадает с матрицей

▼ Находим собственные значения.

.

Таким образом, мы имеем единственное собственное значение, кратность которого равна 3. Сначала определим количество собственных и присоединенных векторов.

,

, значит, в искомом базисе будет один собственный вектор и два присоединенных. Находим собственный вектор, решая однородную систему с матрицей .

. (3)

Получаем систему:

В качестве собственного вектора можно взять, например, частное решение . Теперь находим первый присоединенный вектор, дописывая в цепочке (3) к матрице в качестве столбца свободных членов координатный столбец найденного собственного вектора и пересчитывая столбец свободных членов по намеченным стрелкам:

.

Получаем систему

(4)

Первый присоединенный вектор находим как частное решение системы (4): , а второй — как решение системы с той же матрицей, но в качестве столбца свободных членов уже дописываем координатный столбец вектора , и опять пересчитываем его по намеченным стрелкам:

(5)

Частное решение системы (5) и будет вторым присоединенным вектором: .

Итак, искомый базис: — собственный; — 1-ый присоединенный; — 2-ой присоединенный векторы.▲

Замечание. На практике все три цепочки объединяются в одну, новый столбец свободных членов просто дописывается к матрице предыдущей системы и пересчитывается по намеченным стрелкам.

§ 16. Жорданова нормальная форма матрицы

Определение. Жордановой клеткой — го порядка называется матрица — го порядка вида

. (1)

У Жордановой клетки все диагональные элементы одинаковые, диагональ, параллельная главной и расположенная над ней, состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Характеристический многочлен жордановой клетки (1) выглядит так:

.

Таким образом, жорданова клетка имеет единственное характеристическое число , причем его кратность равна порядку этой клетки.

Пусть матрица линейного оператора в некотором базисе

(2)

Пространства Совпадает с жордановой клеткой (1). Тогда:

.

Отсюда видно, что первый вектор этого базиса — собственный с собственным значением , а остальные – присоединенные к нему.

Определение. Жордановой матрицей называется блочно диагональная матрица, диагональными блоками которой являются жордановы клетки: .

Теорема. Для любой комплексной квадратной матрицы А Существует невырожденная матрица Т такая, что матрица – жорданова (без доказательства).

Матрица называется Жордановой нормальной формой матрицы А. Жорданова нормальная форма матрицы определяется однозначно с точностью до порядка следования клеток.

Замечание. Жорданова нормальная форма действительной матрицы А может оказаться матрицей комплексной. Она тоже будет действительной в том и только в том случае, когда все характеристические числа этой матрицы — действительные.

Некоторые свойства жордановой матрицы

1. Характеристический многочлен жордановой матрицы равен произведению характеристических многочленов составляющих её жордановых клеток.

2. Диагональными элементами жордановой матрицы являются её характеристические числа или собственные значения, что для комплексной матрицы одно и тоже.

3. Сумма размерностей всех клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равна кратности этого собственного значения.

4. Число клеток, соответствующих одному и тому же собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением.

5. Число клеток порядка не ниже , соответствующих данному собственному значению, равно количеству линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением, имеющих — е присоединенные векторы.

Пример 1. Найдем жорданову нормальную форму матрицы

.

▼1. Составляем характеристический многочлен матрицы А:

.

Таким образом, А имеет единственное собственное значение , причем кратность его равна 4.

2. Находим собственные векторы:

;

Общее решение системы:

. (3)

Число линейно независимых собственных векторов равно двум, значит, жорданова форма имеет две клетки.

3. Находим присоединенные векторы:

. (4)

Система (4) имеет решения при любых значениях свободных неизвестных, поэтому любой собственный вектор имеет присоединенный. Общее решение этой системы:

Таким образом, обе клетки имеют второй порядок, и жорданова форма выглядит так:

. (5)

4. Матрица Т, приводящая А к виду — это матрица перехода от исходного базиса к базису, в котором матрица оператора совпадает с . Из (5) видно, что , т. е. и — векторы собственные, а и — присоединенные к ним. Чтобы найти и , записываем фундаментальную систему по решению (3): . Векторы и — частные решения системы (4) при соответствующих значениях и , т. е. — решение системы

,

А — системы

Например, . Таким образом,

.▲

Пример 2.

.

▼ Проведём вычисления по тому же плану, что и в первом примере.

1.

.

Таким образом, .

2.

;

. (6)

, следовательно, два линейно независимых собственных вектора, значит, в матрице будет две клетки.

3.

. (7)

Система (7) имеет решение только в том случае, когда . Поэтому только один из собственных векторов имеет присоединенные. Значит, одна из клеток будет иметь первый порядок, а вторая – третий.

.

4). ; .

Находим и :

,

;

.▲