ГЛАВА 6. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Действительные евклидовы пространства

Определение. Говорят, что на действительном линейном пространстве Задана операция Скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие действительное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:

1*. .

2*. .

3*. .

4*.

Простейшие следствия из аксиом

1º.

► [1*] = [2*] = = [1*] = ◄

2º.

► = [1*] = = [3*] = = [1*] = ◄

3º.

► ◄

Итак, скалярное произведение на действительном линейном пространстве — это функция двух векторных аргументов. На основании второй и третьей аксиом она линейна по первому аргументу, а на основании следствий из аксиом — линейна и по второму, т. е. это билинейная форма. Кроме того, из первой аксиомы вытекает, что эта билинейная форма симметрична, а из четвертой – что она еще и положительно определена. Таким образом, получаем еще одно

Определение. Скалярным произведением на действительном линейном пространстве называется положительно определенная симметричная билинейная форма.

Определение. Действительным Евклидовым (или просто евклидовым) пространством называется действительное линейное пространство, в котором задана операция скалярного произведения.

Примеры действительных евклидовых пространств

1. Пространство свободных векторов с введенным в нем обычным скалярным произведением . Очевидно, всем аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет (эти аксиомы просто "списаны" со свойств обычного скалярного произведения).

2. Пространство , в котором скалярное произведение задается равенством

(см. § 5 Главы 3).

3. Пространство непрерывных на отрезке функций, в котором скалярное произведение задается так:

.

Очевидно, трем первым аксиомам скалярного произведения оно удовлетворяет. Проверка четвертой аксиомы – это несложное упражнение из математического анализа.

Евклидово пространство будем обозначать буквой . Если соответствующее ему линейное пространство N — мерно, то и евклидово называется N — мерным и обозначается .

Псевдоевклидово пространство

Иногда в определении скалярного произведения на действительном линейном пространстве отказываются от положительной определённости билинейной формы, заменяя её невырожденностью, т. е. называют скалярным произведением симметричную невырожденную билинейную форму. Действительное линейное пространство с введенным таким образом скалярным произведением называется Псевдоевклидовым.

Примером псевдоевклидова пространства является пространство

,

В котором операция скалярного произведения задана так:

.

Это пространство называется Пространством Минковского (или пространство-время).

Упражнение. Верны ли в пространстве Минковского утверждения: ? ?

§ 2. Комплексные евклидовы (унитарные) пространства

Определение. Говорят, что на комплексном линейном пространстве Задана операция скалярного произведения, если задан закон, по которому каждой паре элементов ставится в соответствие комплексное число, которое называется их скалярным произведением, обозначается и удовлетворяет следующим аксиомам:

1*.

2*. ;

3*.

4*.

Замечание. Несмотря на то, что скалярное произведение на комплексном пространстве есть число комплексное, из первой аксиомы видно, что скалярный квадрат вектора есть уже число действительное.

Таким образом, мы видим, что аксиомы скалярного произведения для комплексного пространства отличаются лишь одной первой аксиомой от соответствующих аксиом для действительного пространства. Докажем также простейшие следствия.

1º.

► [1*] = [2*] = = = [1*] = ◄

2º.

► = [1*] = = [3*] = = = [1*] = ◄

Итак, функция скалярного произведения на комплексном линейном пространстве по первому аргументу также является линейной, а вот по второму она будет линейной только наполовину. Поэтому и называется эта функция Полуторалинейной формой. Полуторалинейная форма, удовлетворяющая первой аксиоме, называется Эрмитовой формой, а удовлетворяющая четвертой — Положительно определенной. Таким образом, скалярное произведение на комплексном линейном пространстве – это положительно определённая эрмитова форма.

Примером комплексного евклидова пространства является пространство , в котором скалярное произведение задается равенством

.

Покажем, например, что справедлива четвертая аксиома. Действительно, . При этом, если , то , откуда вытекает, что , следовательно, . В том, что все остальные аксиомы выполняются, вы можете убедиться самостоятельно в качестве несложного упражнения.

Комплексные и действительные евклидовы пространства мы будем называть просто евклидовыми и обозначать или . Если из контекста непонятно, о каком из пространств идет речь, тогда название будем конкретизировать.

§ 3. Некоторые свойства скалярного произведения

Так как в произвольном евклидовом пространстве скалярный квадрат любого вектора есть число неотрицательное, то .

Определение. Длиной вектора евклидова пространства Е называется число .

Запишем, как находится длина вектора в известных нам евклидовых пространствах.

; .

Теорема 1 (неравенство Коши — Буняковского). В любом евклидовом пространстве модуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения их длин, т. е.

. (1)

► В том случае, когда , неравенство (1), очевидно, истинно. Докажем его при условии, что . Выберем произвольные векторы и . Тогда

. (2)

Зафиксируем в (2) векторы и и положим . Так как скалярный квадрат любого вектора есть число неотрицательное, то из (2) получаем

,

Откуда и вытекает неравенство (1) после извлечения квадратного корня.

Запишем, как выглядит неравенство Коши — Буняковского в известных нам евклидовых пространствах.

.

Следствие.

Это позволяет в действительном евклидовом пространстве ввести понятие угла между векторами (в комплексном пространстве понятие угла не вводится).

Определение. Углом Между ненулевыми векторами и в действительном евклидовом пространстве называется угол такой, что .

Теорема 2 (неравенство треугольнИка). Длина Суммы любых двух векторов евклидова пространства не превосходит суммы их длин, т. е.

(4)

(вспомните школьное свойство сторон треугольника, все "списывается" оттуда!)

►

Откуда вытекает неравенство (4) после извлечения квадратного корня.◄

Запишем, как выглядит неравенство треугольника в известных нам евклидовых пространствах:

;

;

.

§ 4. Ортогональные системы векторов

Определения. Векторы и евклидова пространства называются Ортогональными или перпендикулярными, если их скалярное произведение равно 0.

Система векторов называется Ортогональной, если её векторы попарно ортогональны, т. е., если при

Ортогональная система называется Ортонормированной, если все её векторы имеют единичную длину.

Замечание. Несмотря на то, что понятие угла между векторами в комплексном евклидовом пространстве не вводится, ортогональность векторов определяется как в действительном евклидовом пространстве, так и в комплексном.

На основании следствий из аксиом § 1, нулевой вектор ортогонален всем векторам евклидова пространства. Верно и обратное утверждение.

Лемма. Если вектор ортогонален всем векторам пространства , то он нулевой.

► Пусть Положим Тогда , откуда и вытекает, что .◄

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства линейно независима.

►Пусть задана ортогональная система

(1)

Ненулевых векторов. Для доказательства линейной независимости, как обычно, составляем линейную комбинацию этой системы и приравниваем ее :

. (2)

Умножим скалярно (2) справа на . Получаем:

. (3)

Система (1) ортогональна, поэтому в левой части (3) остается только одно слагаемое, т. е. (3) принимает вид . Так как все векторы системы ненулевые, это равенство можно разделить на , откуда и получаем, что . Таким образом, система (1) линейно независима◄.

§ 5. Процесс ортогонализации Шмидта

Теорема. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

►Выберем в какой-либо базис

(1)

И на его основе построим систему векторов:

(2)

При любом и при любом наборе вектор , т. к. он представляет собой линейную комбинацию линейно независимых векторов , причем коэффициент при отличен от нуля (он равен 1).

Подберем коэффициенты так, чтобы любой из векторов был ортогонален всем предыдущим. Для этого — е равенство из (2) умножим скалярно справа на . Например, при =2, получаем

,

Откуда следует, что . При остальных умножениях уже будем учитывать, что при .

.

После конечного числа шагов получаем ортогональную систему ненулевых векторов , которая по теореме §5 линейно независима, а значит, в — мерном евклидовом пространстве является базисом. Для того чтобы получить ортонормированный базис, векторы осталось только пронормировать, т. е. каждый разделить на его длину.◄

Процесс доказательства теоремы и называется процессом ортогонализации Шмидта

Пример. В пространстве многочленов степени не выше двух, в котором скалярное произведение задается формулой

,

Построим ортонормированный базис, исходя из базиса

.

▼Поступаем точно так же, как и при доказательстве теоремы. Положим и подберем числа так, чтобы функции были ортогональными.

.

Таким образом, получили ортогональный базис

.

Теперь эти векторы остаётся пронормировать.

.

Итак, ортонормированный базис:

.▲

§ 6. Выражение скалярного произведения через координаты

Перемножаемых векторов

Определение. Матрицей Грама системы векторов

(1)

Евклидова пространства называется матрица , где .

Нетрудно показать, что в случае действительного пространства матрица Г симметричная и все её главные миноры положительны. Если же пространство комплексное, то , т. е.

. (2)

Определение. Комплексная квадратная матрица Г, удовлетворяющая условию (2) называется Эрмитовой.

Таким образом, матрица Грама любой системы векторов комплексного евклидова пространства является эрмитовой. Кроме того, можно также показать, что все её главные миноры положительны.

В частности, матрицу Грама можно определить и для произвольного базиса. Очевидно, для ортонормированности базиса необходимо и достаточно, чтобы его матрица Грама была единичной.

Выберем в какой-либо базис

(3)

И обозначим его матрицу Грама. Выберем также произвольные векторы пространства . Тогда

—

Координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве,

—

Координатная форма записи скалярного произведения в действительном пространстве. Так как , то

—

Матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве,

—

В действительном пространстве. В ортонормированном базисе скалярное произведение вычисляется так:

—

Координатная форма записи скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве,

—

В действительном пространстве;

— (4)

Матричная форма записи скалярного произведения в комплексном пространстве,

—

В действительном пространстве.

Изменение матриц Грама при изменении базиса

Пусть в пространстве наряду с базисом (3) задан базис

, (5)

и – матрицы Грама базисов (3) и (5) соответственно, – матрица перехода от (3) к (5). Тогда

,

Откуда по правилу цепочки получаем

–

Закон изменения матрицы Грама при изменении базиса в комплексном евклидовом пространстве,

–

В действительном евклидовом пространстве (это обычный закон изменения матрицы билинейной формы).

§ 7. Некоторые свойства матрицы Грама

Теорема. Определитель матрицы Грама произвольной системы векторов

(1)

Евклидова пространства есть число неотрицательное. При этом он равен нулю в том и только в том случае, когда система (1) линейно зависима.

►Обозначим . На основании теоремы 1 § 7 главы 3, — подпространство пространства . Если , то . Выберем в какой-либо ортонормированный базис

, (2)

Каждый из векторов системы (1) разложим по этому базису () и обозначим, как обычно, — координатный столбец вектора в базисе (2), а — матрицу, составленную из координатных столбцов векторов . Если — матрица Грама системы (1), то

=

. (3)

Тогда

{(1) линейно независима} [теорема 1 § 7 главы 3 и § 3 главы 3]

[(3)] {};

{(1) линейно зависима}

{}.◄

Следствие. Пусть . Тогда

Таким образом, мы получили еще одно доказательство неравенства Коши – Буняковского. Из этого доказательства очень хорошо видно, что в неравенстве Коши – Буняковского знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

Отметим ещё одно интересное свойство матрицы Грама. Выберем в трехмерном евклидовом пространстве два неколлинеарных вектора и . Площадь параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, находится так:

.

§ 8. Разложение евклидового пространства в

Прямую сумму подпространств

Пусть Е – некоторое евклидово пространство, тогда Е – линейное пространство, и пусть – подпространство этого линейного пространства. В подпространстве автоматически определяется операция скалярного произведения:. Очевидно, все аксиомы скалярного произведения выполняются, значит, становится евклидовым пространством. Таким образом, любое подпространство евклидового пространства также является евклидовым пространством.

Определение. Пусть Е – евклидово пространство, – его подпространство. Ортогональным дополнением к подпространству называется подмножество пространства Е

,

Которое состоит из векторов пространства Е, ортогональных всем векторам подпространства .

Теорема. Пусть – евклидово пространство, – его подпространство. Тогда также является подпространством , причём

(1)

►Докажем вначале, что – подпространство . Во-первых, , значит, . Кроме того,

.

Таким образом, на основании теоремы §6 гл. 3, – подпространство пространства .

Обозначим . Очевидно, . Если , то = ,

= , и (1), очевидно, выполняется. Если же = , то = , и опять (1) выполняется (это тривиальные случаи).

Рассмотрим случай нетривиальный, когда . Выберем в какой-либо ортонормированный базис

(2)

И дополним его до базиса

(3)

Пространства . Исходя из базиса (3) с помощью процесса ортогонализации построим ортонормированный базис

. (4)

Пространства и обозначим .

Выберем произвольный вектор евклидова пространства , и разложим его по базису (4):

, (5)

Где , . Таким образом, мы видим, что

Покажем, что . Если — произвольный вектор подпространства , то

,

Т. е. . Выберем теперь произвольный . Так как , то .

Пусть теперь — произвольный вектор подпространства . Как и всякий вектор пространства , его можно представить в виде (5). Так как , а , то

.

Отсюда следует, что , . Таким образом, , а значит, .

Остается показать, что сумма прямая. В самом деле, пусть . Тогда и . Значит, , следовательно, . Таким образом, , и поэтому◄

§ 9. Изоморфизм евклидовых пространств

Определение. Изоморфизмом евклидовых пространств называется взаимно однозначный линейный оператор , сохраняющий скалярное произведение, т. е. удовлетворяющий условию

. (1)

Таким образом, изоморфизм евклидовых пространств – это в первую очередь изоморфизм линейных пространств, и поэтому, если евклидовы пространства изоморфны, то они либо оба действительные, либо оба комплексные и имеют одинаковые размерности.

Теорема 1. Все — мерные действительные евклидовы пространства изоморфны между собой, т. е. существует единственное с точностью до изоморфизма действительное евклидово пространство.

Упражнение. Докажите эту теорему по аналогии с соответствующей теоремой для линейных пространств.

Такое же утверждение справедливо и для комплексных евклидовых пространств.

Теорема 2. Любое действительное евклидово пространство изоморфно своему сопряжённому пространству .

►Вспомним, что это пространство линейных форм на пространстве , т. е.

.

Для доказательства теоремы надо построить изоморфизм .

Построение. Каждому вектору поставим в соответствие следующим образом: положим . Очевидно, — линейная форма, т. е. .

Линейность . Выберем произвольные векторы и пространства И обозначим . Тогда

.

Таким образом, , т. е. .

Теперь пусть . Тогда

.

Итак, Т. е.

Взаимная однозначность. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

. (1)

Для произвольной линейной формы положим и построим вектор (т. е. вектор, координаты которого совпадают с компонентами формы в том же базисе). Покажем, что . Действительно,

, (2)

. (3)

Сравнивая (2) и (3) и учитывая произвольность , получаем, что . Итак, каждая форма имеет свой прообраз при отображении , т. е. — сюрьективно. Предположим теперь, что существуют векторы , такие, что . Тогда

.

Отсюда вытекает, что , что противоречит исходному условию.◄