ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Некоторые сведения о матрицах

Ортогональные и унитарные матрицы

Определение. Комплексная квадратная матрица А называется Унитарной, если

. (1)

Множество всех унитарных матриц N-го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.

►Действительно, (1) .◄

2. .

В силу равносильности, любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.

Определение. Действительная квадратная матрица называется Ортогональной, если

. (2)

Множество всех ортогональных матриц N-го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. .

2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.

3. .

Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.

Свойства ортогональных и унитарных матриц

1. ; 1′. .

2. ; 2′. .

3. ; 3′. .

►Докажем, например, первое свойство для унитарных матриц (для ортогональных доказательство отличается только тем, что отсутствует комплексное сопряжение).

.◄

Теорема о матрице перехода. Пусть в евклидовом пространстве заданы: ортонормированный базис

(3)

И ещё какой-либо базис

. (4)

Для того чтобы базис (4) был ортонормированным необходимо и достаточно, чтобы матрица Т перехода от (3) к (4) была унитарной в том случае, когда — комплексное евклидово пространство, и ортогональной, когда оно — действительное.

►Доказательство проводим для комплексного случая. Если и — матрицы Грама базисов (3) и (4) соответственно, то и . Тогда

{(4) — ортонормированный}.◄

Некоторые свойства эрмитовых и симметричных матриц

Вспомним, что комплексная квадратная матрица А называется эрмитовой, если , а действительная квадратная матрица А — симметричной, если . Будем обозначать — множество всех эрмитовых матриц N-го порядка, а — множество всех действительных симметричных матриц N-го порядка. Очевидно, . Запишем некоторые свойства этих матриц, которые вы можете легко доказать в качестве упражнения.

1. ;. 1′. .

2 ; 2′. .

3. ; 3′. .

§2. Сопряженный линейный оператор

Лемма. Пусть и — линейные операторы. Если или , то .

►

(объясните каждый шаг в цепочке рассуждений). Второе утверждение доказывается аналогично.◄

Определение. Линейный оператор называется Сопряженным линейному оператору , если

Теорема. Для любого линейного оператора существует единственный сопряженный ему оператор . При этом, если А — матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

►Доказываем теорему точно так же, как в свое время доказывали аналогичную теорему для обратного линейного оператора. Все доказательства проводим для комплексного пространства. Для действительного доказательство изменится только тем, что не будет комплексного сопряжения.

Единственность. Предположим, что некоторый линейный оператор имеет два сопряженных: и . Так как

и ,

То на основании доказанной леммы = .

Существование. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

(1)

И обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Значит, существует линейный оператор , матрица которого в базисе (1) совпадает с матрицей . Выберем теперь произвольные векторы и обозначим и соответственно их координатные столбцы в базисе (1). В том же базисе координатные столбцы векторов и совпадают соответственно со столбцами и . На основании правила вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе получаем:

Таким образом, , значит = .◄

Свойства сопряженных операторов

1º. , т. е. тождественный оператор сопряжен самому себе.

►Очевидным образом вытекает из определения.◄

2º. .

► . Утверждение вытекает из доказанной леммы. ◄

3º. .

► (объясните каждый шаг цепочки).◄

4º. Если — невырожденный линейный оператор, то .

►. Аналогично доказывается, что , значит, и есть .◄

5º. .

Это свойство вы можете легко доказать самостоятельно.

§3. Самосопряженные линейные операторы

Определение. Линейный оператор называется Самосопряженным, если он сопряжен самому себе (), то есть, если

. (1)

В комплексных евклидовых пространствах самосопряженные линейные операторы называются эрмитовыми, а в действительных — симметричными.

Теорема 1. Для того чтобы линейный оператор комплексного евклидова пространства в себя был эрмитовым необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства , была эрмитовой.

Для того чтобы линейный оператор действительного евклидова пространства в себя был симметричным необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства , была симметричной.

►Доказательство непосредственно вытекает из теоремы §2. Пусть — матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе. Если — комплексное евклидово пространство, то

;

Если же — действительное, то только снимается комплексное сопряжение.◄

Теорема 2. Все собственные значения эрмитова оператора действительны.

►Пусть — собственный вектор эрмитова оператора , l — соответствующее этому собственному вектору собственное значение. Полагая в (1) и учитывая, что — ненулевой вектор, получаем:

. ◄

Следствия. 1. Все характеристические числа эрмитовой матрицы действительны.

2. Все характеристические числа симметричной матрицы действительны.

3. Любой симметричный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение.

Теорема 3. Собственные векторы самосопряженного линейного оператора с различными собственными значениями взаимно ортогональны.

►Пусть — собственные векторы самосопряжённого линейного оператора С собственными значениями l1 и l2 соответственно, причём l1¹l2. Тогда:

{(1)}

.◄

Теорема 4. Для любого самосопряжённого оператора в пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора .

►Доказательство проведем методом математической индукции по размерности пространства.

А) N = 1.Так как действует в одномерном пространстве , то для любого вектора также и , то есть коллинеарен вектору , , а значит, любой ненулевой вектор является собственным вектором оператора . Если , то вектор и образует в одномерном пространстве ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора .

Б) Предположим, что утверждение верно для евклидова пространства размерности N-1, и докажем его для N-мерного пространства.

Пусть — самосопряжённый линейный оператор. Тогда он обязательно имеет, по крайней мере, одно собственное значение l1. Обозначим единичный собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, и пусть — его линейная оболочка. Так как , и так как , то . Кроме того, , получаем: а значит, . Определим оператор следующим образом: положим . Нетрудно проверить, что — самосопряжённый линейный оператор. Пространство — (N-1)-мерное. По предположению индукции, в существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов оператора . Очевидно, каждый из этих векторов является собственным и для оператора , так как , где — соответствующее собственное значение оператора . Теперь рассмотрим систему векторов . Она удовлетворяет всем условиям теоремы: состоит из собственных векторов оператора , ортонормированная и, поэтому, линейно независима, а значит, в N-Мерном линейном пространстве является базисом.◄

Следствие. Любая эрмитова матрица унитарно подобна некоторой действительной диагональной матрице, т. е. такая, что матрица – диагональная и действительная.

Любая симметричная матрица ортогонально подобна некоторой диагональной матрице, т. е. такая, что матрица — диагональная.

►Доказательство для эрмитовой матрицы. Пусть , – комплексное N-мерное евклидово пространство,

— (4)

Некоторый ортонормированный базис пространства . Обозначим тот линейный оператор, матрица которого в базисе (4) совпадает с А. Тогда, по теореме 1, F — эрмитов оператор, а значит, в существует ортонормированный базис

, (5)

Состоящий из собственных векторов оператора F. Матрица оператора F в этом базисе диагональная и действительная. Так как Т — матрица перехода от (4) к (5), то по теореме §1 Т – унитарная.◄

§4. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго

Порядка к каноническому видУ

Теорема 1. Для любой квадратичной формы на действительном евклидовом пространстве в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид.

► Пусть на евклидовом пространстве задана квадратичная форма K. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

, (1)

И пусть А — матрица квадратичной формы K в этом базисе. Тогда А – симметричная, а значит, существует такая ортогональная матрица Т, что матрица — диагональная. Так как матрица Т ортогональная, то по теореме §1 существует ортонормированный базис

(2)

Пространства такой, что Т — матрица перехода от (1) к (2). Если Ã — матрица квадратичной формы K в базисе (2), то = =

= = А’ – диагональная и, поэтому, в базисе (2) квадратичная форма K имеет канонический вид.◄

Замечание. Диагональными элементами матрицы А’ являются собственные значения матрицы А.

Определение. Линейное невырожденное преобразование переменных называется Ортогональным, если его матрица ортогональна.

Теорема 1′. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование переменных, приводящее эту квадратичную форму к каноническому виду (иная формулировка теоремы 1).

Следствия. 1. Для того чтобы действительная квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения её матрицы были положительными.

2. Для любой поверхности 2-го порядка в трехмерном пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.

Для любой кривой 2-го порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задается каноническим уравнением.

Пример. Определить вид кривой второго порядка, приведя её уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту кривую, если исходное уравнение кривой имеет вид

▼1. Приводим к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем её матрицу и находим собственные значения:

, , .

Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору в силу симметричности матрицы А И что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора и в одной из них поменяв знак. Итак, . Чтобы получить ортонормированный базис, векторы и нормируем, т. е. делим каждый на его длину: , . Канонический вид квадратичной формы выглядит так:, а матрица перехода (она же матрица линейного невырожденного преобразования переменных) имеет вид:

2. По матрице T Записываем линейное невырожденное преобразование переменных:

(3)

Подставляем выражение переменных по формулам (3) в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, свободный член не меняется, а чтобы узнать, как изменится линейная часть, следует непосредственно подставить формулы (3) в уравнение, раскрыть скобки и привести подобные.

Замечание. На самом деле коэффициенты линейной части есть линейные комбинации координат векторов и с теми же коэффициентами, что и в исходном уравнении. Например, коэффициент при вычисляется так: , а при — так: .

Таким образом, после преобразования (3) получаем уравнение кривой к уравнению:

Которое равносильно следующему:

3. Преобразуем это уравнение:

И применим к нему преобразование параллельного переноса

После этого уравнение кривой принимает вид

Откуда видно, что исследуемая кривая – парабола.

4. Теперь приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. При преобразовании параллельного переноса начало координат переходит в точку , в которой . Значит, . Можно узнать координаты точки и в исходной системе координат. Для этого значения и подставим в формулы (3): . Итак, . Направление новых осей удобнее определять не по векторам и , а по векторам и , т. к. они имеют целочисленные координаты (рис. 1).

Как видите, приведение к каноническому виду даже кривой второго порядка занятие достаточно трудоёмкое. Попробуем его упростить хотя бы в некоторых случаях.

Лемма. Для того чтобы начало координат было центром симметрии кривой второго порядка необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при первых степенях переменных в её уравнении равнялись бы нулю.

►Обозначим рассматриваемую кривую второго порядка. Пусть её уравнение имеет вид:

. (4)

Необходимость.

{О – центр симметрии кривой Ф}

. (5)

Рассмотрим два случая.

А) Кривая Ф не является сдвоенной прямой. Тогда на ней можно выбрать две точки и , не лежащие с началом координат на одной прямой. Из (5) получаем

(6)

Причем . Поэтому система (6) имеет единственное решение .

Б) Ф – сдвоенная прямая . Очевидно, утверждение истинно.

Достаточность очевидна, т. к. уравнение кривой Ф имеет вид

.◄

Обозначим левую часть уравнения (4). Тогда

(7)

Теорема 2. Для того чтобы точка была центром симметрии кривой второго порядка необходимо и достаточно, чтобы её координаты удовлетворяли системе линейных уравнений

(8)

►Пусть — центр симметрии кривой Ф с уравнением (4). Применим преобразование параллельного переноса , которое помещает начало координат в точку . При этом преобразовании уравнение (1) изменится так:

Последнее уравнение равносильно следующему:

. (9)

Если обозначить

, , (10)

, (11)

То (9) запишется в виде

Сравнивая (7) и (10), (4) и (11), замечаем, что

, .

Завершает доказательство цепочка рассуждений:

{ — центр симметрии Ф} { — центр симметрии Ф}

{} {}.◄

Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть её уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .

Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.

Пример. Определить вид поверхности второго порядка

Приведя её уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.

▼1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (8):

Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .

2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.

; ,

; .

Записываем каноническое уравнение поверхности:

Или

(9)

И видим, что это однополостный гиперболоид.

Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:

;;.

Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 2). ▲

§5. Изометрии

Определение. Линейный оператор F евклидова пространства Е в себя называется Изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е., если

(1)

Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются Унитарными операторами, а в действительном — Ортогональными.

Теорема 1. Если l — собственное значение изометрии, то |l|=1.

►Пусть — собственный вектор изометрии , l — его собственное значение. Положим в (1) . Тогда: .◄

Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.

Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор был изометрией необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.

►Необходимость очевидна.

Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть F сохраняет длины векторов, т. е., . Тогда

. (2)

Так как (2) справедливо для всех комплексных l, то при l=1 получаем . Если же , то (2) принимает вид: , и, таким образом, утверждение доказано.◄

Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.

Теорема 3. Изометрия любой ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор некоторый ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис, то F — изометрия.

►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из N векторов, которая, в силу теоремы §5 главы 6, линейно независима, и поэтому, в N-мерном линейном пространстве является базисом.

Обратно. Пусть линейный оператор некоторый ортонормированный базис

(3)

Пространства переводит в ортонормированный базис

, (4)

И пусть и — произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов и можно разложить по базису (3): Так как базисы (3) и (4) ортонормированны, то , а

И, таким образом, F — изометрия.◄

Теорема 4. Для того чтобы линейный оператор был изометрией необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял условию .

►{F — изометрия}

[лемма § 2] {}.◄

Следствия. 1. Любая изометрия — невырожденный линейный оператор, причем .

2. Для того чтобы линейный оператор F комплексного евклидова пространства в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была унитарной. Для того чтобы линейный оператор F Действительного евклидова пространства в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была ортогональной.

►Обозначим А матрицу линейного оператора в некотором ортонормированном базисе пространства . Тогда

{F — унитарный} [теорема 4] {} [теорема § 2]

{} {} {}.

Точно так же утверждение доказывается и для ортогонального оператора.◄

§ 6. Классификация линейных операторов на евклидовой

Плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве

Ортогональные операторы на евклидовой плоскости

Выберем на евклидовой плоскости какой-либо ортонормированный базис . Если А – матрица ортогонального оператора в этом базисе, то она ортогональна. Значит, . Найдем характеристический многочлен матрицы А:

Рассмотрим сначала случай, когда . Тогда характеристическое уравнение имеет вид: . Это уравнение имеет два различных действительных корня. Значит, ортогональный оператор имеет два различных собственных значения: и . В таком случае в существует ортонормированный базис , состоящий из собственных векторов оператора , в котором матрица оператора имеет диагональный вид:

Линейный оператор с этой матрицей, как мы знаем, есть не что иное, как оператор симметрии относительно оси, направление которой задается вектором .

Пусть теперь . Определим в этом случае элементы матрицы А, учитывая, что она ортогональная, т. е., что . Пусть

Тогда

Откуда получаем систему для определения элементов матрицы:

(1)

Из первых двух уравнений системы (1) видно, что можно положить , где и — некоторые углы, причем (так как нам важно знать не сами углы, а значения их синусов и косинусов). Последние два уравнения этой системы определяют соотношения между углами и :

Значит, матрица А выглядит так:

Как мы уже знаем, это матрица оператора поворота плоскости на угол вокруг начала координат. В частности, если , то , т. е. получаем тождественный оператор. Если же , то . Этой матрице соответствует оператор симметрии относительно начала координат

Таким образом, ортогональные операторы на евклидовой плоскости – это тождественный оператор, симметрия относительно начала координат или относительно некоторой оси, либо поворот плоскости вокруг начала координат.

Ортогональные операторы в трехмерном евклидовом

Пространстве

Известно, что всякий многочлен третьей степени с действительными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный корень. Поэтому всякий линейный, в том числе и ортогональный оператор имеет, по крайней мере, одно собственное значение , причем . Пусть — единичный собственный вектор ортогонального оператора с собственным значением . Обозначим и рассмотрим . Очевидно, — двумерное евклидово пространство. Выберем произвольные векторы и . Тогда:

— собственныйОртогональность .

Обозначим такой линейный оператор, что

( отличается от только областью определения). Очевидно, — тоже ортогональный оператор. Как и в любом евклидовом пространстве, в пространстве можно выбрать ортонормированный базис . Тогда — ортонормированный базис пространства . Матрица оператора в этом базисе имеет блочно диагональный вид ,

Где — матрица оператора в базисе . В силу того, что оператор ортогональный, матрица тоже ортогональная. Это значит, что в подходящем ортонормированном базисе она может быть одной из матриц:

Перечисляя всевозможные принципиально различные виды матриц в подходящем ортонормированном базисе пространства , получаем

А) .

, — тождественный оператор;

, — симметрия относительно оси с направлением вектора ;

, — симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;

, — поворот вокруг оси с направлением вектора .

Б) .

, — симметрия относительно плоскости, перпендикулярной вектору ;

, — симметрия относительно начала координат;

, — симметрия относительно оси с направлением вектора ;

, — композиция поворота вокруг оси с направлением вектора и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этому же вектору.

Таким образом, все ортогональные операторы в трехмерном евклидовом пространстве это: тождественный, симметрия относительно плоскости, симметрия относительно оси, симметрия относительно начала координат, поворот вокруг оси и композиция поворота вокруг оси и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной этой же оси.

Симметричные операторы в

Как было доказано в § 3, для любого симметричного оператора в Существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Перечислим все принципиально возможные различные случаи.

— тождественный оператор;

— симметрия относительно оси;

— симметрия относительно плоскости;

— симметрия относительно начала координат;

(перечисленные операторы одновременно являются и ортогональными);

— нулевой оператор;

— проектирование на ось с направлением вектора ;

— проектирование на плоскость, перпендикулярную вектору ;

— растяжение при и сжатие при;

— растяжение от оси при и сжатие к оси при ;

— растяжение вдоль оси при и сжатие вдоль оси при

;

Рассмотрим теперь некоторую диагональную матрицу

В которой, например, . Тогда

Т. е. оператор, заданный матрицей , есть композиция растяжений (или сжатий) вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей и симметрии относительно оси. Любая диагональная матрица может быть представлена в виде произведения перечисленных выше десяти простейших матриц. Например, при положительных и

Откуда вытекает, что оператор с такой матрицей есть композиция двух растяжений вдоль осей, проектирования на плоскость и симметрии относительно другой плоскости.

Разложение произвольного линейного оператора

В действительном евклидовом пространстве в произведение

Симметричного и ортогонального

Теорема. Пусть — действительное евклидово пространство. Для любого невырожденного линейного оператора существуют симметричный и ортогональный операторы такие, что .

►Рассмотрим линейный оператор . Так как , то оператор симметричный. Если — собственное значение оператора , а — соответствующий ему собственный вектор, то

. С другой стороны, . Итак, , откуда вытекает, что .На самом деле, в силу невырожденности , . Как и для любого симметричного оператора, для В существует ортонормированный базис

, (1)

В котором матрица оператора имеет диагональный вид

Причем и не обязательно различные. Обозначим тот линейный оператор, матрица которого в базисе (1) имеет вид

Так как , то . Очевидно, оператор симметричный и невырожденный, поэтому существует обратный ему линейный оператор , также симметричный (его матрица в базисе (1) – это

Она тоже симметрична). Положим

. (2)

В силу того, что [симметрия ] = ,

— ортогональный оператор. Теперь из (2) получаем . ◄

Можно доказать, что эта теорема справедлива и для вырожденных линейных операторов.

Следствие. Любая действительная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и симметричной матриц.

§ 7. Одновременное приведение к каноническому

Виду пары квадратичных форм

Теорема. Пусть и — квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем одна из них положительно определена. Тогда в существует базис, в котором обе квадратичные формы имеют канонический вид.

►Пусть, например, квадратичная форма положительно определена. Тогда соответствующая ей симметричная билинейная форма тоже положительно определена. С помощью этой билинейной формы можно задать скалярное произведение на линейном пространстве и после этого оно превращается в евклидово пространство . Согласно теореме 1 § 4, в существует ортонормированный базис

, (1)

В котором форма имеет канонический вид. Так как базис (1) ортонормированный, то . Значит, квадратичная форма в базисе (1) имеет единичную матрицу, и поэтому форма в этом базисе имеет нормальный вид. ◄

Правило приведения пары квадратичных форм

К каноническому виду

Пусть и — квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем положительно определена. Выберем в какой-либо базис

, (2)

И обозначим и матрицы форм и соответственно в этом базисе. В пространстве скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (2) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в существует ортонормированный базис

. (3)

Если — матрица Грама базиса (3), а — матрица квадратичной формы в этом базисе, то, , . В силу ортонормированности базиса (3) , значит , откуда получаем, что

Согласно теореме 1 § 4, в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение

, (4)

А чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения решить систему линейных уравнений

, (5)

Где — координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (3). Но {(4)} {} {}

{}, откуда вытекает, что (4) равносильно уравнению

. (6)

Система же (5) преобразуется так: {(5)} {} {} {}. Если — координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (2), то , значит, система (5) равносильна следующей:

. (7)

Таким образом, диагональные элементы матрицы — это корни уравнения (6), а векторы искомого базиса — это решения системы линейных уравнений (7) для каждого из найденных значений .

Из вышесказанного получаем следующее Правило Одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:

1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся — .

2. Составляем уравнение (6), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм: будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы совпадают с найденными собственными значениями .

3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7) при каждом из найденных собственных значений .

4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !)

5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .