Теорема.
Пусть функция у = f(x) определена при х≥1, неотрицательна и монотонно убывает на 
∞). Тогда ряд 
, где 
Сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл 
(2)
Доказательство:
Так как f(x) монотонна на ∞) , то она интегрируема по Риману на любом отрезке [1,
], поэтому имеет смысл 
. Так как f(x)-убывает на ∞), то для 
f(k+1)
. Проинтегрируем последнее неравенство по отрезку 
: 
, k=1,2,3.4…
Просуммируем по к:
Тогда
Пусть несобственный интеграл (2) сходится. Последовательность 
монотонна (
) и ограничена. Тогда ограничена и последовательность 
. А поскольку она монотонно возрастает, то является сходящейся.
Пусть сходится ряд (1). Покажем, что сходится несобственный интеграл (2). Последовательность 
– монотонная, сходящаяся последовательность, следовательно, ограничена.
Тогда из (3) следует ограниченность возрастающей последовательности , а следовательно, её сходимость. То есть существует конечный 
; интеграл (2) сходится.
Пример
, s>0,
Рассмотрим f(x)= 
на [1,
);
Значит, ряд сходится при s >1 и расходится при s