Цель. Изучение волновых и вероятностных свойств частиц методом компьютерного моделирования. Проверка формулы де Бройля. Знакомство с принципами электронографии. Определение межплоскостных расстояний и индексов Миллера кристаллической решётки по компьютерным электронограммам.
![]() |
Принципиальная схема установки.
![]() |
Рис.1. Схема установки.
Рис.2. Природа дифракции электронов на кристалле.
Расчетные формулы
Длина волны де Бройля
(1)
Коэффициенты С1 и С2
(2)
(3)
Связь радиуса с межплоскостным расстоянием
(4)
Связь межплоскостного расстояния с индексами Миллера
(случай кубической решетки)
(5)
Ход работы.
Будем наблюдать формирование электронограмм, задав количество выпускаемых электронов k0=1500 и ускоряющее напряжение V=30kV. Произведем аналогичные действия для значений ускоряющего напряжения 60 и 120kV, занесем полученные данные в таблицу.
Таблица 1
Характер дифракции электронов при различных ускоряющих напряжениях.
V, kV | 30 | 60 | 120 | |||
K0 | 1500 | Ki/k | 1500 | Ki/k | 1500 | Ki/k |
K1 | 160 | 0,405 | 167 | 0,408 | 154 | 0,378 |
K2 | 74 | 0,187 | 76 | 0,186 | 80 | 0,197 |
K3 | 60 | 0,152 | 50 | 0,122 | 60 | 0,147 |
K4 | 49 | 0,124 | 46 | 0,112 | 58 | 0,143 |
K5 | 52 | 0,132 | 70 | 0,171 | 55 | 0,135 |
K | 395 | 409 | 407 |
Исследуем влияние числа выпущенных электронов k0 на отношения ki/k, для этого заполним следующую таблицу.
Таблица 2
Результаты измерений и расчетов для построения графиков.
K0 | K1/k | K2/k | K3/k | K4/k | K5/k | K |
50 | 0,529 | 0,176 | 0,176 | 0,059 | 0,059 | 17 |
100 | 0,552 | 0,138 | 0,103 | 0,103 | 0,103 | 29 |
150 | 0,526 | 0,105 | 0,132 | 0,132 | 0,105 | 38 |
200 | 0,479 | 0,125 | 0,125 | 0,146 | 0,125 | 48 |
400 | 0,376 | 0,092 | 0,147 | 0,165 | 0,220 | 109 |
600 | 0,385 | 0,118 | 0,143 | 0,143 | 0,211 | 161 |
800 | 0,379 | 0,133 | 0,143 | 0,163 | 0,182 | 203 |
1000 | 0,375 | 0,145 | 0,145 | 0,153 | 0,181 | 248 |
1200 | 0,360 | 0,160 | 0,147 | 0,150 | 0,183 | 300 |
1400 | 0,387 | 0,168 | 0,142 | 0,133 | 0,171 | 346 |
1600 | 0,392 | 0,176 | 0,136 | 0,131 | 0,166 | 398 |
1800 | 0,389 | 0,189 | 0,136 | 0,127 | 0,160 | 450 |
2000 | 0,386 | 0,191 | 0,143 | 0,127 | 0,151 | 502 |
2200 | 0,378 | 0,200 | 0,145 | 0,122 | 0,154 | 564 |
По данным таблицы построим зависимости k1/k (k0), k2/k (k0), k4/k (k0).
Рис.3. Зависимости величин Ki/k от количества выпущенных электронов.
По виду полученных графиков можно сделать вывод о том, что с увеличением числа выпускаемых электронов их распределение по дифракционным кольцам приобретает постоянный характер.
Проверим соотношение де Бройля (6).
Для этого рассчитаем константы С1 и С2 с помощью формул (2-3) и величину, определяемую соотношением .
Также измерим диаметр первого кольца на электронограмме Al, Fe и расстояние между парами ближайших к центру точек на электронограмме Si.
По формуле (1) определим длину волны де Бройля для электрона при разных ускоряющих напряжениях и занесем все данные в таблицу.
Таблица 3
Результаты измерений и расчетов для проверки соотношения де Бройля.
C1= | 0,3881 | A*(kV)1/2 | |||
C2= | 9,78E-04 | (kV)-1 | |||
V, kV | D(Al), mm | D(Fe), mm | D(Si), mm | ||
40 | 6,02E-02 | 39 | 45 | 48 | 1,55E-01 |
58,3 | 4,94E-02 | 32 | 37 | 39 | 1,27E-01 |
78,1 | 4,23E-02 | 28 | 32 | 34 | 1,09E-01 |
96,7 | 3,77E-02 | 24 | 28 | 30 | 9,72E-02 |
На основании данной таблицы построим зависимость D() для трех различных элементов и убедимся в справедливости (6).
Рис.4. Зависимость D колец от величины () для Al, Fe, Si.
Из приведенных графиков вытекает справедливость соотношения де Бройля.
Измерим диаметр пяти дифракционных колец Fe для всех значений ускоряющего напряжения. Занесем полученные значения в таблицу и рассчитаем по (4-5) межплоскостные расстояния и коэффициенты Миллера.
Таблица 4
Результаты измерений и расчетов для определения коэффициентов Миллера.
№ | N | Диаметры колец при |
| |||||
6,02E-02 | 4,94E-02 | 4,23E-02 | 3,77E-02 |
| ||||
1 | 1 | 46 | 37 | 32 | 28 |
| ||
2 | 1 | 64 | 53 | 45 | 40 |
| ||
3 | 1 | 78 | 64 | 55 | 49 |
| ||
4 | 2 | 90 | 73 | 64 | 56 |
| ||
5 | 1 | 102 | 83 | 71 | 60 |
| ||
|
| |||||||
| ||||||||
| D1 | D2 | D3 | D4 | Dср, A |
| H2+k2+l2 | H, k, l |
| 1,56 | 1,94 | 2,24 | 2,56 | 2,01 | 0,22 | 2 | 1,1,0 |
| 1,12 | 1,35 | 1,60 | 1,79 | 1,42 | 0,15 | 4 | 2,0,0 |
| 0,92 | 1,12 | 1,31 | 1,47 | 1,17 | 0,12 | 6 | 2,1,1 |
| 1,60 | 1,97 | 2,24 | 2,56 | 2,03 | 0,21 | 2 | 1,1,0 |
| 0,70 | 0,86 | 1,01 | 1,20 | 0,91 | 0,11 | 10 | 3,1,0 |
Вывод. В предложенной лабораторной работе изучена дифракция электронов на кристаллических структурах с помощью компьютерного моделирования. Установлено, что с увеличением ускоряющего напряжения увеличивается относительное кол-во электронов, попадающих в первое дифракционное кольцо, а диаметры колец уменьшаются. Следует отметить, что с увеличением кол-ва выпускаемых электронов выстраивается четкая картина распределения электронов по дифракционным кольцам. Экспериментально подтверждено соотношение де Бройля, определены межплоскостные расстояния для Fe, рассчитаны коэффициенты Миллера.