. (6.31)
, (6.32)
. (6.33)
Уравнения (6.31) — (6.33) называются Уравнениями движения твердого тела в форме Эйлера. Они записаны в подвижной, жестко связанной с твердым телом системе координат. Их решение дает угловую скорость вращения твердого тела.
Найдем решение уравнений Эйлера для свободного симметричного волчка. Симметричным волчком называется тело, у которого два главных момента инерции, например и 
, 
равны. Свободным волчок будет тогда, когда момент внешних сил равен нулю. Полагая в уравнениях Эйлера 
и 
, получим, что 
. Оставшиеся два уравнения принимают вид
, 
, где 
. (6.34)
Уравнения (6.34) имеют следующие решения:
, 
. (6.35)
Где А и α — постоянные интегрирования, то есть проекция вектора 
на плоскость Хоу подвижной системы координат вращается с постоянной угловой скоростью ω.
Рис. 6.4
Рассмотрим теперь движение волчка с точки зрения неподвижного наблюдателя. Так как момент внешних сил равен нулю, то сохраняется вектор момента импульса волчка. Направим вдоль этого вектора ось OZ неподвижной системы координат (рис. 6.4).
Проекция момента импульса на ось Oz подвижной системы координат 
остается постоянной. Так как, согласно рис. 6.4, эта проекция равна 
, То угол θ остается постоянным, то есть ось Oz подвижной системы координат, совпадающая с осью симметрии волчка, описывает конус вокруг оси OZ неподвижной системы координат. Полагая в кинематических формулах Эйлера 
Равным нулю, находим
. (6.36)
Постоянная угловая скорость 
— это скорость, с которой ось волчка описывает конус вокруг направления постоянного момента. Говорят, что ось волчка совершает регулярную прецессию. Скорость вращения волчка вокруг своей оси равна
. Она также может быть выражена через момент импульса:
