Запишем вначале уравнения Лагранжа в декартовых координатах для материальной точки массой 
, находящейся в потенциальном поле 
. Ее функция Лагранжа имеет вид
(3.14)
Так как материальная точка имеет три степени свободы, то необходимо записать три уравнения Лагранжа:
; 
; 
(3.15)
При вычислении частных производных переменные 
считаются независимыми. Например, для частных производных по 
Получим
; 
(3.16)
Аналогичными будут выражения для частных производных по другим координатам. Подставляя эти производные в уравнения (3.15), находим:
; 
; 
(3.17)
Нетрудно заметить, что уравнения (3.17) — это проекции на декартовы оси уравнения второго закона Ньютона для материальной точки, движущейся в потенциальном поле.
Запишем теперь уравнения Лагранжа для той же задачи в цилиндрической системе координат. В цилиндрических координатах
функция Лагранжа имеет вид
(3.18)
Уравнение Лагранжа для координаты 
Будет таким же, как и в декартовых координатах. Для координат 
записываем уравнения Лагранжа:
; 
Вычисляем входящие в эти уравнения частные производные:
; 
; 
В результате получим следующие уравнения Лагранжа для координат цилиндрической системы координат: ‘
(3.19)
(3.20)
Так как проекции силы, рассчитываемой по формуле 
на базис цилиндрической системы координат равны
; 
(3.21)
То первое уравнение Лагранжа (3.19) представляет собой проекцию уравнения второго закона Ньютона на радиальное направление. Второе уравнение Лагранжа (3.20) отличается множителем 
от проекции уравнения второго закона Ньютона на азимутальное направление. В скобках в левой части уравнений (3.19) и (3.20) стоят проекции ускорения на базис цилиндрической системы координат:
; 
(3.22)