Работа 13. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Задание: Экспериментально проверить основной закон динамики вращательного движения. Определить момент инерции маятника Обербека без цилиндров с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 5 %.

Рис. 1

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, штангенциркуль.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Для изучения вращательного движения используется маятник Обербека рис. 1. Он состоит из четырех взаимно перпендикулярных стержней 1, укрепленных на втулке. Втулка и два шкива различных радиусов насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. На стержни надеваются цилиндры 2 массой MЦ, которые могут перемещаться и закрепляться посредством винтов на любом расстоянии от оси вращения. Момент инерции маятника можно изменять, передвигая грузы вдоль стержней. На один из шкивов маятника навита тонкая нить 3, на конце которой находится груз 4 массы M. Момент силы создаваемый грузом служит для приведения маятника во вращательное движение. Груз удерживается в неподвижном состоянии с помощью фрикционной муфты, приводимой в действие электромагнитом 5. Подвижный кронштейн 6 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в любом положении, изменяя таким образом высоту падения груза. Для отсчета высоты на колонке нанесена шкала 7. На подвижном кронштейне 6 установлен фотоэлектрический датчик, импульсы которого служат для запуска миллисекундомера. На нижнем неподвижном кронштейне 7 закреплен фотоэлектрический датчик 8, вырабатывающий электроимпульс конца измерения времени, включающий тормозной электромагнит.

Перед началом работы необходимо с помощью регулируемых ножек основания прибора установить колонку в вертикальное положение. Установить подвижный кронштейн на выбранную высоту, чтобы грузы, падая, проходили через середину рабочего окна фотоэлектрических датчиков. При этом нижний край грузов Должен совпадать с чертой на корпусе верхнего фотоэлектрического датчика.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Линейные физические величины – перемещение, скорость и ускорение –различны для разных точек. Поэтому для изучения вращательного движения вводят угловые величины, одинаковые для всех точек тела. Связь между линейными и угловыми величинами имеет вид:

(1)

Где DS – пройденный путь, DJ – угловое перемещение, V – линейная скорость, AR – тангенциальное ускорение, W – угловая скорость, R – расстояние до оси вращения или радиус вращения точки, E – угловое ускорение.

Для вывода основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси мысленно разобьем тело на совокупность материальных точек массами Mi, находящимися на расстояниях Ri от оси вращения (рис. 2).

Рис. 2

Пусть на точку Mi действует сила , которая представляет равнодействующую всех приложенных внутренних и внешних сил

(2)

Внутренние силы взаимодействия удерживают точки твердого тела на определенных расстояниях друг от друга. По второму закону Ньютона ускорение данной точки Связано с силой Fi Соотношением

(3)

Спроецируем (3) на направление касательной к траектории точки. Учитывая (1), получим

(4)

Умножив (4) на Ri, получим:

(5)

Где – момент силы, действующей на I–тую точку относительно оси вращения. Поскольку, согласно (2), сила есть сумма двух сил, то ее момент равен сумме моментов внешней и внутренней сил

(6)

Просуммировав (6) по всем точкам, получим:

(7)

Согласно третьему закону Ньютона каждой внутренней силе в системе соответствует сила, равная ей по величине, противоположная по направлению и направленная по одной и той же прямой: (рис. 3). Моменты этих сил попарно равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому очевидно, что сумма моментов всех внутренних сил равна нулю:

Рис. 3

(8)

Обозначим:

(9)

– результирующий момент внешних сил.

В правую часть уравнения (7) входит сумма

(10)

Которая называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент инерции тела J численно равен сумме произведений масс всех его материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения. Для сплошного тела суммирование можно заменить интегрированием по объёму тела:

(11)

Уравнение (7) с учетом (8), (9) и (10) примет вид:

(12)

Соотношение (12) выражает основной закон динамики вращательного движения. Оно позволяет выяснить физический смысл момента инерции: Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении. Это уравнение является следствием законов Ньютона. Поэтому его экспериментальная проверка является в то же время проверкой основных положений механики.

Теория метода: Для проверки основного уравнения динамики вращательного движения необходимо определять три величины: угловое ускорение E, момент сил М и момент инерции J маятника относительно оси вращения (см. рис. 1). При безразличном равновесии маятника его вращение под действием постоянного натяжения нити будет равноускоренным.

Если груз M опускается с высоты H за время T, то его ускорение

(13)

Таким же будет ускорение любой точки поверхности шкива. Тогда

(14)

Где RО – радиус шкива. Момент сил M = RОT, где T— сила натяжения нити. Сила Т определяется из второго закона Ньютона для опускающегося груза M:

Mg — T = ma (15)

Тогда сила натяжения нити

(16)

Момент силы натяжения:

(17)

При значительных силах трения FТр и их момента Mтр уравнение (12) примет вид:

M — MТр = JE (18)

Момент инерции маятника J состоит из суммы моментов инерции вала со шкивами JВ, стержня Jc и цилиндров JЦ:

J = JВ+Jc+JЦ (19)

Расчет моментов инерции полых цилиндров относительно произвольной оси дает (см. Приложение 1):

(20)

Где MЦ – масса цилиндра; D – расстояние от оси вращения до центра масс цилиндра; L – его длина; R1 и R2 – внутренний и внешний радиусы.

Экспериментально момент инерции маятника определяется согласно (12,14) и (17):

(21)

Момент инерции маятника со снятыми цилиндрами: JО = JВ + Jc

Тоже находится по (21). Тогда экспериментальное значение моментов инерции цилиндров при любом их положении на стержнях, согласно (21):

(22)

Порядок выполнения задания

1. Снять цилиндры. С малым шкивом и минимальным значением массы груда провести контрольные измерения величин Ro, M, H, T, входящих в правую часть равенства (21), для выбранного значения H (около 40 см).

2. Оценить минимальную относительную погрешность прямых измерений величин Ro, M, H, T.

3. Оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений момента инерции маятника со снятыми цилиндрами Jo.

4. Провести повторные измерения Ro, T. Оценить случайную относительную погрешность прямых измерений этих величин. Сравнить ее с минимальной относительной погрешностью и сделать выводы о необходимом числе повторных измерений. Оценить полную относительную погрешность прямых измерений величин Ro, T.

5. По формуле (21) определить Jo.

6. Оценить полную относительную погрешность E косвенных измерений момента инерции маятника со снятыми цилиндрами Jo.

7. Для четырёх значений массы груза M и большого шкива измерить T, оставляя H неизменным. По (14), (17), (21) определить E, М, Jo. Результаты занести в таблицу 1.

8. Построить график E = F(M). По графику определить момент силы трения Мтр и момент инерции маятника без цилиндров Jo. Сравнить Jo с полученными ранее значениями.

9. Повторить опыт для разных значений момента инерции системы, получающихся при различном положении цилиндров относительно оси вращения при постоянной (лучше большей) массе груза M и высоте H. По формуле (21) определить J. Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 1

Результаты измерений и расчётов для определения E, М, Jo

Таблица 2

Результаты измерений и расчётов для исследования зависимости момента инерции системы от положения цилиндров.

10. Результаты, полученные для J при различных D, представить в виде графика J = F(D2). По графику определите момент инерции системы JО и сравните его с полученными ранее значениями.

11. По формуле (22) определить экспериментальное значение момента инерции цилиндров JЦэ при различных значениях D. Рассчитать момент инерции цилиндров JЦ по формуле (20). Результаты занести в таблицу 2. Сравнить JЦ с JЦэ для одинаковых D.

На основании проделанных измерений сформулировать цель работы и сделать выводы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кембровский Г. С. Приближённые вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. — Минск: Изд-во "Университетское", 1990. -189 с.

2. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. -М.: Высшая школа, 1986. -320 с.

3. Петровский И. И. Механика. — Минск: Изд-во БГУ, 1973. -352 с.

4. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. -432 с.

5. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика. -576 с.

6. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975. -560 с.

7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г. С. — Минск: Изд-во "Университетское", 1986. -352 с.

Приложение 1

РАСЧЁТ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ НЕКОТОРЫХ ТЕЛ

Момент инерции тела относительно оси и относительно точки. Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. Чтобы найти момент инерции тела (с непрерывным распределением вещества) относительно оси, надо мысленно разбить его на такие малые элементы, чтобы каждый из них можно было считать материальной точкой бесконечно малой массы Dm = RDV. Тогда момент инерции тела относительно оси равен интегралу по объёму тела:

(1)

Где R – расстояние элемента Dm до оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто упрощается, если предварительно вычислить его Момент инерции относительно точки Q. Он вычисляется по формуле, аналогичной (1):

Рис. 1

(2)

Где R – расстояние элемента Dm до выбранной точки (относительно которой вычисляется Q). Пусть эта точка является началом системы координат X, Y, Z (рис. 1). Квадраты расстояний элемента Dm до координатных осей X, Y, Z И до начала координат равны соответственно Y2+Z2, Z2+X2, X2+Y2, X2+Y2+Z2. Моменты инерции тела относительно осей X, Y, Z и относительно начала координат

Из этих соотношений следует, что

(3)

Рис. 2

Таким образом, Сумма моментов инерции тела относительно трёх любых взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, равна удвоенному моменту инерции тела относительно этой точки.

Момент инерции тонкого кольца. Все элементы кольца Dm (рис. 2) находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу кольца R, от его оси симметрии (ось Y) и от его центра. Момент инерции кольца относительно оси Y

(4)

Момент инерции тонкого диска. Пусть тонкий однородный диск массы M с концентрическим отверстием (рис. 3) имеет внутренний и внешний радиусы R1 и R2. Мысленно разобьём диск на тонкие кольца радиуса R, толщины Dr. Момент инерции такого кольца относительно оси Y (рис. 3, она перпендикулярна рисунку и не показана), в соответствии с (4):

(5)

Рис. 3

Момент инерции диска:

(6)

В частности, полагая в (6) R1 = 0, R2 = R, получим формулу для вычисления момента инерции тонкого сплошного однородного диска относительно его оси:

(7)

Момент инерции диска относительно его оси симметрии не зависит от толщины диска. Поэтому по формулам (6) и (7) можно вычислять моменты инерции соответствующих цилиндров относительно их осей симметрии.

Момент инерции тонкого диска относительно его центра также вычисляется по формуле (6), Q = Jy, а моменты инерции относительно осей X и Z равны между собой, Jx = Jz. Поэтому, в соответствии с (3): 2Jx +Jy = 2Jy, Jx = Jy/2, или

(8)

Рис. 4

Момент инерции цилиндра. Пусть имеется полый симметричный цилиндр массы M, длины L, внутренний и внешний радиусы которого равны R1 И R2. Найдём его момент инерции относительно оси X, проведенной через центр масс перпендикулярно оси цилиндра (рис. 4). Для этого мысленно разобьём его на диски бесконечно малой толщины Dy. Один из таких дисков, массой Dm = Mdy/L, расположенный на расстоянии Y от начала координат, показан на рис. 4. Его момент инерции относительно оси X, в соответствии с (8) и теоремой Гюйгенса – Штейнера

(9)

Момент инерции всего цилиндра

(10)

Момент инерции цилиндра относительно оси X¢ (оси вращения маятника Обербека) найдём по теореме Гюйгенса – Штейнера

Где D – расстояние от центра масс цилиндра до оси X¢. В работе 13 этот момент инерции обозначен как JЦ

(11)