Работа 23н «ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В МЕТАЛЛЕ»

Задание: определить скорость звука в стальной пластинке с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: установка для определения скорости звука стальной пластинке, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Установка (рис. 1) состоит из двух частей: генератора электромагнитных колебаний и стойки.

В основании стойки закреплена колонка 1 и телефон 2 (без мембраны). Вдоль колонки можно перемещать и фиксировать в произвольном положении кронштейн 3 с тисками 4, которые служат для закрепления пластинки 5. Ее длину можно изменять. При этом кронштейн необходимо перемещать так, чтобы нижний конец пластинки находился против телефона. С помощью винта 6 можно изменять расстояние от телефона до нижнего конца пластинки.

На передней панели генератора находится регулятор амплитуды напряжения 7, регулятор частоты 8 и дисплей 9, на котором отображаются значения амплитуды напряжения и частоты. На задней панели генератора (рис. 2) находится выключатель сети 10.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Волной Называют колебания, распространяющиеся в пространстве с течением времени. В Механической волне колебания совершают частицы вещества. В Электромагнитной волне происходят колебания электрического и магнитного полей. Волновым фронтом Называется множество точек, до которых дошли колебания. Это «передний край» волны. Волновой поверхностью Называется множество точек, в которых колебания происходят в одинаковой фазе. В зависимости от формы волновой поверхности различают Плоские, сферические, цилиндрические И т. д. волны. Длиной волны (l) называется расстояние между волновыми поверхностями, колебания которых происходят с разностью фаз 2p. Период (T) – это время, за которое происходит одно колебание. Частота (n) – это число колебаний в единицу времени. Частота измеряется в герцах (Гц). 1 Гц – это частота, при которой происходит одно колебание в секунду. Скорость электромагнитных волн в вакууме равна 3×108 м/с. Скорость механических волн зависит от свойств вещества. За один период волна распространяется на расстояние, равное ее длине:

L = cT, (1)

Где c – скорость волны. Учитывая, что T = 1/n, получим:

C = ln. (2)

Волна, в которой колебания происходят с единственной частотой, называется Монохроматической волной. Например, монохроматическую звуковую волну издает камертон. В большинстве случаев в волне присутствуют колебания нескольких частот.

Механические волны в веществе называются Упругими Волнами. Упругие волны с большой амплитудой называются Ударными Волнами. Упругие волны с малой амплитудой, которые воспринимаются человеческим ухом, называются Звуком. Частота звука лежит в интервале приблизительно от 16 Гц До 20000 Гц.

Упругие волны в жидкостях и газах являются Продольными. В них колебания частиц вещества происходят Вдоль направления распространения волны. (Волны на поверхности жидкости не являются упругими. Они вызваны либо силами поверхностного натяжения, либо силами тяжести.) В твёрдых телах могут распространяться как продольные, так и Поперечные Волны. В поперечной волне колебания частиц происходят Перпендикулярно Направлению распространения волны.

Скорость продольных звуковых волн в твёрдых телах определяется соотношением:

(3)

Где E – модуль Юнга, R – плотность тела.

Теория метода. В упругом теле конечных размеров (например, струна или камертон) могут происходить колебания с определенными частотами. В этом можно убедиться, ударив молоточком по струне, камертону или другому упругому телу. Это Собственные колебания упругого тела, их частоты связаны между собой. Амплитуда колебаний минимальной частоты (основного тона или первой гармоники), наибольшая. Эта частота определяет звучание тела. Амплитуда колебаний второй, третьей т. д. гармоник, или обертонов, меньше. От них зависит тембр звучания.

В упругом теле, на которое действует периодически изменяющаяся внешняя сила, возникают Вынужденные колебания той же частоты. Если частота внешней силы совпадет с частотой одной из гармоник собственных колебаний тела, наступит Резонанс. При этом амплитуда колебаний тела резко возрастет.

Аналогичная зависимость наблюдается и для стальной пластинки, один конец которой жестко закреплен (рис. 3). Амплитуда колебаний пластинки резко возрастает, когда частота внешней силы, приложенной к нижнему концу пластинки, совпадает с одной из частот νI ее собственных колебаний (i = 1, 2, 3 … – номер гармоники колебаний). Частота νI зависит от размеров и физических свойств (модуля Юнга и плотности) материала пластинки. Скорость звука (см. соотношение 3) также определяется физическими свойствами материала пластинки.

Теоретический анализ показывает, что скорость звука в пластинке выражается через ее длину L, толщину D, собственную частоту колебаний NI и безразмерный параметр BI:

(4)

Численное значение Bi определяется номером гармоники колебаний: B1 = 1,87510; B2 = 4,69410; .

Из (4) следует, что собственная частота колебаний пластинки обратно пропорциональна квадрату ее длины (остальные величины в (4) постоянные):

, (5)

Где

. (6)

Тогда

(7)

Порядок выполнения задания

1. С помощью регуляторов 7 и 8 (рис. 1) установить нулевые значения амплитуды напряжения и частоты. Установить длину пластинки L = 11 см. Это максимальная длина пластинки, которой соответствует минимальная частота собственных колебаний. Про уменьшении длины пластинки собственная частота колебаний будет возрастать.

2. Включить генератор электромагнитных колебаний. Установить некоторое значение выходного напряжения (в интервале от 5 В до 9 В).

3. Увеличивая частоту (с шагом 1 Гц), определить, в каком интервале частот становятся особенно заметными вынужденные колебания пластинки. После этого, уменьшая напряжение, изменяя расстояние между нижним концом пластинки и телефоном и плавно изменяя частоту (с шагом 0,1 Гц), определить резонансную частоту (первую гармонику собственных колебаний пластинки).

4. Определить частоту второй гармоники при данной длине пластинки. Для ускорения поиска N2 следует учесть, что N2 = (B2/B1)2N1 = 6,267N1 (это вытекает из соотношения (4)).

5. Уменьшая длину пластинки до 8 см через 0,5 см, определить соответствующие каждому значению L собственные частоты колебаний N1 и N2. Результаты измерений занести в таблицу 1.

6. Из соотношения (4) оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений величины C. Приборную погрешность N Считать равной 0,1 Гц.

Таблица 1.

Результаты измерения зависимости собственной частоты колебаний стальной пластинки от ее длины.

L, м	0, 110	0, 105	0, 100	0,095	0,090	0,085	0,080
N1, Гц
N2, Гц

7. Обозначив в формуле (5) 1/L2 = X, NI, = Y, Ki = A, определить методом наименьших квадратов среднее значение и относительную случайную погрешность Ki для 1-й и 2-й гармоник (см. приложение, формулы (11) и (13)). Из соотношения (7) определить среднее значение и относительную случайную погрешность С на 1-й и 2-й гармониках.

8. Определить полную относительную погрешность E косвенных измерений скорости звука в стальной пластинке.

На основании проделанных измерений сформулировать цель работы и сделать выводы.

Контрольные вопросы.

1. От чего зависит скорость распространения волн в упругой среде?

2. Имеются ли среды, в которых скорость распространения поперечных волн больше, чем продольных?

3. Как определить собственные частоты колебаний упругого тела (стальной пластинки, струны рояля, столба воздуха в трубе органа)?

ЛИТЕРАТУРА

1. Кембровский Г. С. Приближённые вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. — Минск: Изд-во "Университетское", 1990.

2. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986.

3. Петровский И. И. Механика. — Минск: Изд-во БГУ, 1973.

4. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.

5. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика.

6. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975.

7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г. С. — Минск: Изд-во "Университетское", 1986.

ПРИЛОЖЕНИЕ

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть некоторая величина Y прямо пропорциональна величине Х, Т. е.

Y = ax. (8)

Экспериментально независимыми способами измерен ряд значений Xi, I = 1, 2, …, N, одной величины и соответствующие им значения Yi Другой величины. При графической обработке результатов измерений полученные данные по соответствующим правилам изображаются в виде точек (рис. 1п). Дальнейшая задача сводится к подбору такого угла наклона A Проводимой прямой, при котором она располагалась бы возможно ближе ко всем точкам и по обе ее стороны оказывалось бы приблизительно равное их количество. Понятно, что выполнение подобной операции “на глаз” не может обеспечить высокую точностью Более точное математическое правило проведения прямой линии заключается в нахождении такого значения параметра А, при котором сумма квадратов отклонений всех экспериментальных точек от линии графика была бы наименьшей.

Обычно случайные погрешности в определении аргумента Х незначительны (как правило, в ходе эксперимента значения Xi задаются и устанавливаются на приборах самим экспериментатором). Поэтому отклонения экспериментальных точек от прямой, т. е. случайные погрешности DYi, будут равны разностям ординат данных точек и соответствующих точек на прямой (см. рис. 1п). Согласно методу наименьших квадратов наилучшей будет та прямая, для которой будет минимальной величина

(9)