Работа 33. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МЕТАЛЛОВ МЕТОДОМ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ВОЛНЫ

Цель работы: Экспериментально исследовать явление теплопроводности металлов. Измерить теплопроводность трёх металлических стержней.

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Для определения тепловых характеристик металлов и сплавов в работе используется установка (рис. 1, рис. 2), на которой изучается перенос теплоты вдоль горизонтально расположенного стержня 1, находящегося в теплоизолирующей коробке 2. Коробка 2 зафиксирована на штырях 3 основания 4.

Один конец стержня приводится в тепловой контакт с нагревателем 5 в теплоизолирующем корпусе 6, изготовленном из фторопласта. Нагреватель может отодвигаться от стержня с помощью рычага 7. Другой конец стержня закреплен в металлическом радиаторе 8, который обеспечивает эффективный теплоотвод из стержня и который, в свою очередь, может охлаждаться вентилятором 9.

Для измерения температуры нагревателя 5 и стержня 1 (в различных его сечениях) впаяны термодатчики 10, как показано на рис. 2. По всей длине стержня на расстоянии 40 мм друг от друга расположено семь термодатчиков.

На передней панели установки размещены: графический дисплей 11, цифровой дисплей 12 и клавиатура управления 13. На задней панели расположен выключатель.

Кнопкой ▲T▼ задается значение температуры нагревателя (от 50ºС до 80ºС). После нажатия (в течение 2 с) кнопки Ввод нагреватель 5 автоматически отводится от стержня (если до этого он находился в контакте со стержнем) и подключается к источнику электрического тока. На цифровом дисплее 12 через каждые 2 с выводится значение мощности P Электрического тока, пропускаемого через нагреватель.

Когда температура нагревателя достигает заданной величины, он автоматически в периодическом режиме приводится в контакт со стержнем и отводится от стержня через интервалы времени, предварительно заданные кнопкой tm ×. Таким образом создаются периодические колебания температуры на конце стержня, в результате чего вглубь него распространяется температурная волна. Установка запоминает значения температуры, регистрируемые всеми термодатчиками через интервалы времени, предварительно заданные кнопкой Dt ×.

На графическом дисплее 11 отображаются зависимости температуры от времени (колебания), регистрируемые семью термодатчиками, впаянными в стержень, а также численные значения температуры нагревателя (Т1) и температуры в различных сечениях стержня (Т2–Т8) для конкретного момента времени, определяемого положением вертикальной курсорной линии (в дальнейшем – «курсора»).

По завершении эксперимента кнопками ◄1►ׁ и ◄20►ׁ курсор перемещается вдоль горизонтальной оси на 1 или 20 делений. Направление перемещения курсора задается кнопкой ←ï→.

Кнопка Сброс возвращает установку в начальное состояние (удерживать нажатой в течение 2 с).

При подключенном принтере кнопка Печать позволяет распечатать графики, выведенные на экран. Кнопка Пуск используется в случае необходимости проведения измерений в ручном режиме работы установки. При необходимости проведения повторного эксперимента с данным стержнем следует охладить его в течение нескольких минут с помощью вентилятора 9, приводимого в действие кнопкой ≈≈ .

Для смены стержня (точнее, коробки со стержнем) необходимо осуществить следующую последовательность действий:

1. Если нагреватель 5 приведен в контакт со стержнем 1, то нажатием (в течение 2 с) кнопки М следует отвести его в сторону.

2. Придерживая одной рукой основание 4, второй рукой осторожно тянуть коробку 2 со стержнем вверх попеременно то слева, то справа, до момента ослабления фиксации коробки на штырях 3.

3. Полностью снять коробку, извлекая сначала ее левую часть, избегая при этом нажима на корпус вентилятора 9.

4. Установить коробку со стержнем, изготовленным из другого материала, и зафиксировать ее на штырях 3.

Нельзя производить замену стержня при выключенной установке, т. к. при этом его заостренный конец царапает поверхность нагревателя.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Теплопроводность – один из трёх видов теплообмена (теплопроводность, конвекция, лучистый теплообмен), при котором теплообмен осуществляется движением частиц вещества.

Твёрдое тело представляет собой совокупность частиц (атомов или молекул), совершающих колебания около положения равновесия. Эти колебания независимы друг от друга и могут передаваться со скоростью, близкой к скорости звука, от одних частиц к другим. В металлах имеется много свободных электронов (электронный газ), которые также переносят тепловую энергию.

Теплопроводность твёрдых тел в подавляющем большинстве случаев обусловлена двумя механизмами: тепловыми колебаниями атомов и молекул твёрдого тела и движением электронов проводимости. Первый механизм определяет теплопроводность неметаллов, второй доминирует в металлах. В некоторых полупроводниках, полуметаллах и сильно разупорядоченных сплавах оба механизма дают сравнимые вклады в теплопроводность. Присутствие примесей обычно слабо влияет второй на механизм, но подавляет первый механизм теплопроводности.

Основы теории теплопроводности были заложены французским математиком Фурье в первой четверти XIX века. Распространение теплоты можно рассматривать как течение жидкости. Плотностью потока теплоты называется вектор , направленный параллельно потоку теплоты, модуль которого равен количеству теплоты, проходящему в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока теплоты.

Поток теплоты возникает тогда, когда температура вещества изменяется от точки к точке, и направлен в сторону быстрейшего убывания температуры. Простейшим является одномерный случай распространения теплоты. Если, например, один конец теплоизолированного стержня (рис. 3) длины L поддерживать при температуре Т1, а другой конец – при температуре Т2 (T1 > T2), то модуль плотности потока теплоты будет прямо пропорционален разности температур Т1 – Т2 и обратно пропорционален длине стержня

, (1)

где æ – ТеплопроводностЬ, положительная постоянная, зависит только от вещества стержня и его физического состояния.

Направим ось Х вдоль стержня в направлении распространения теплоты (вправо на рис. 3, в сторону понижения температуры). На бесконечно малом отрезке стержня длиной Dx между сечениями А и В температура изменяется от T(X) до T(X+Dx). Уравнение (1) для этого участка запишется в виде

. (2)

Знак «минус» в правой части появляется из-за того, что при Dx > 0, DT = (T(X+Dx) – T(X)) <0, а Qx = Q > 0. Уравнение (2) не изменится, если ось Х направить в сторону повышения температуры. Тогда , но . В общем случае распространения теплоты в веществе в произвольном направлении вектор плотности потока теплоты равен взятому со знаком «минус» произведению теплопроводности на градиент температуры:

. (3)

Из (3) вытекает физический смысл теплопроводности : теплопроводность численно равна плотности потока теплоты при градиенте температуры, равном единице. Размерность теплопроводности в системе СИ – ватт на метр-кельвин:.

Если температура концов стержня постоянна, то и распределение температуры вдоль стержня в каждом его сечении также будут постоянными. Если температура одного из концов стержня меняется, то плотность потока теплоты и температура в любом сечении стержня также будут изменяться во времени. Кроме того, теплопроводность может иметь разные значения в разных сечениях стержня, то есть зависеть от координаты Х. Но и в этом случае уравнение (2) остаётся справедливым для бесконечно малого отрезка стержня длиной Dx между сечениями А и В (рис. 4).

Пусть S – площадь поперечного сечения стержня. Количество теплоты, поступающее в отрезок АВ стержня через основание А за время Dt равно DQ1 = QХ(X)Sdt. Количество теплоты, уходящее через основание В, равно DQ2 = QХ(X+Dx)Sdt. Количество теплоты, оставшееся в отрезке АВ приведёт к изменению температуры этого отрезка:

, (4)

Где С – удельная теплоёмкость, – масса, R – плотность, DT – изменение температуры отрезка АВ. С учётом этого из (4) получаем: , Þ , отсюда получаем:

. (5)

Подставив в (5) из (2), получим (частная производная необходима потому, что Т и Qx зависят от двух переменных, T и X):

. (6)

Это уравнение называется уравнением теплопроводности. В частном случае, когда теплопроводность не зависит от координаты Х, уравнение (6) принимает вид

,

Или

, (7)

Где D – температуропроводность среды:

. (8)

Уравнение (7) можно обобщить на случай, когда теплота распространяется в произвольном направлении:

(7а)

Теория метода. В данной лабораторной работе тепловые характеристики металлов и сплавов, изготовленных в виде стержней, определяются методом температурной волны. В этом методе на одном конце стержня создаются периодические колебания температуры, и измеряется затухание температурной волны, распространяющейся в стержне, а также фазовый сдвиг температуры в образце. По полученным данным рассчитывается температуропроводность материала.

Пусть на одном конце стержня в сечении температура меняется по закону , где

(9)

– отклонение температуры от среднего значения , w – круговая частота колебаний, – амплитуда колебаний температуры стержня в сечении Х = 0. Вдоль стержня будет распространяться температурная волна. В сечении А стержня (рис. 4) на расстоянии Х колебания температуры будут происходить по закону

, (10)

Где

(11)

– отклонение температуры от среднего значения в сечении А, U – модуль скорости температурной волны.

Подставив (10) и (11) в (6) с учётом (9), можно определить неизвестные и U. В результате получим, что в пренебрежении тепловыми потерями отклонение температуры от среднего значения на расстоянии Х от конца стержня определяется формулой (её вывод смотрите в Дополнении)

. (12)

Уравнение (12) является уравнением распространения вдоль оси Х затухающей температурной волны. Её амплитуда по мере удаления от нагретого конца стержня уменьшается по экспоненциальному закону.

Из (10) и (12) следует, что максимальное и минимальное значения температуры в произвольном сечении А стержня равны:

, (13)

, (14)

Где моменты времени T1 и T2 определяются из соотношений

и , N = 0, 1, 2, 3, … .

Разность этих значений

. (15)

В сечении, расположенном дальше сечения А на расстояние DХ, то есть, имеющем координату Х + DХ, эта разность будет равна

. (16)

Разделив уравнение (15) на уравнение (16), получим:

, Þ .

Для удобства введём обозначение

. (17)

Тогда получим: , Þ , и температуропроводность стержня

. (18)

Фаза температурной волны – аргумент функции Sin в (12). Если за промежуток времени волна проходит расстояние DХ, то это же значение фазы запишется в виде . Приравнивая правые части этих выражений, получим: . Отсюда находим круговую частоту W:

. (19)

Подставив (19) в (18), получим формулу для вычисления D через измеряемые в данной установке величины:

. (20)

Порядок выполнения задания

1. Включить установку с помощью выключателя, расположенного на задней панели. Верхняя строка графического дисплея выглядит следующим образом:

THtg = 50 °С TM = 0 min T(N) = 2 sec Mode: HAND.

На цифровом дисплее высвечивается надпись «Готов к работе». В соответствии с порядком действий, описанным в пункте 4 «Описания установки», установить коробку со стержнем, изготовленным из дюралюминия (белого цвета).

2. С помощью клавиатуры управления задать последовательным нажатием

• Кнопки ▲T▼ – температуру нагревателя: THtg = 80ºС,
• Кнопки tm × – время, соответствующее половине периода колебаний температуры: TM = 4 min,
• Кнопки Dt × – временной интервал между двумя последовательными измерениями температуры: T(N) = 2 sec (при включении установки выставляется автоматически).

Верхняя строка графического дисплея должна выглядеть следующим образом:

THtg = 80 °С TM = 4 min T(N) = 2 sec Mode: AUTO.

3. Нажать и удерживать (2 с) кнопку Ввод. На цифровом дисплее появится надпись «Нагрев ­». По истечении ~5 мин температура нагревателя Т1, отображаемая на графическом дисплее, достигает заданной величины. После этого начинается процесс измерения температуры всеми термодатчиками (длится 10 мин. 40 с), в начале и по завершении которого установка издает звуковой сигнал. На цифровом дисплее появится надпись «Позиция = 1», а на графическом – кривые, соответствующие примерно одному периоду колебаний температуры.

4. Перемещая курсор кнопками ◄1►ׁ, ◄20►ׁ и ←ï→, найти и записать в таблицу 1 максимальное и минимальное значения температур Т3 и Т5, а также время начала TНач. и окончания TКон. интервалов, в течение которых Т3 и Т5 сохраняют свои максимальные и минимальные значения. Вычислить и занести в таблицу 1 время наступления максимального и минимального значения температур Т3 и Т5:

Таблица 1

Результаты измерений и расчетов параметров температурной волны для двух сечений дюралюминиевого стержня.

Примечание к п.4 задания. Ввиду сбоя при прошивке микропроцессора установки, в ячейке Т4 показания температуры не сохраняются (в чем можно убедиться при перемещении курсора). Показания термодатчика Т4 записываются в ячейке Т5, термодатчика Т5 – в ячейке Т6 и т. д. (что хорошо видно из сопоставления численных значений с графиками). Поэтому в таблице 1 и указаны ячейки Т3 и Т5, которые на самом деле соответствуют двум соседним термодатчикам Т3 и Т4, расстояние между которыми ΔX=40 мм.

Таблица 2

Результаты измерений и расчетов параметров температурной волны для двух сечений бронзового стержня.

Таблица 3

Результаты измерений и расчетов параметров температурной волны для двух сечений медного стержня.

5. Выполнить п.2-4 для двух других стержней: бронзового (желтовато-коричневого цвета) и медного (красновато-коричневого цвета). Для этого сначала необходимо нажать на 2 с кнопку Сброс и произвести смену стержня в соответствии с указаниями, содержащимися в «Описании установки». Результаты занести в таблицу 2 для бронзового стержня и в таблицу 3 для медного стержня.

6. Выключить установку.

7. По результатам измерений для каждого из стержней (таблицы 1, 2, 3) для двух выбранных соседних сечений стержня (расположенных на расстоянии DХ = 40 мм), найти промежутки времени между наступлениями максимумов температуры и минимумов температуры . Рассчитать средний промежуток времени, за который температурная волна проходит расстояние DХ по формуле .

8. Из формул (15) и (16) и нумерации каналов в установке следует, что , . Учитывая это, по формуле (17) вычислить D.

9. По формуле (20) рассчитать температуропроводность D. Из формулы (7) и данных таблицы 4 определить теплопроводность æ: .

Таблица 4

Плотность и удельная теплоемкость С материала стержней.

10. Сравнить полученные для различных материалов значения æ между собой, а также с табличными значениями.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под явлением теплопроводности?

2. Что называется плотностью потока теплоты?

3. Каков физический смысл теплопроводности

4. Выведите уравнение теплопроводности.

5. Каков механизм переноса теплоты в твёрдом теле?

6. От чего зависит температуропроводность вещества?

7. Выведите расчётную формулу для определения теплопроводности металлического стержня.

Литература

1. Матвеев А. Н. Молекулярная физика. – М.: Высшая школа, 1987г. – 360с.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики, том 2: Термодинамика и молекулярная физика. – М.: Наука, 1990г. – 592с.

3. Телегин А. С., Швыдкий В. С., Ярошенко Ю. Г. Тепломассоперенос: Учебник для вузов: 2-е изд. / Под ред. Ю. Г.Ярошенко. – М.: ИКЦ «Академкнига», 2002г. – 455 с.

4. Берман Р. Теплопроводность твёрдых тел. – М.: Мир, 1979 г. – 286 с.

5. Физические величины: Справочник / А. П.Бабичев, Н. А.Бабушкина, А. М.Братковский и др.; Под ред. И. С.Григорьева, Е. З.Мейлихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991г. – 1232с.

Дополнение. Вывод формулы 12.

Из (10) и (11) находим:

. (1д)

Найдём частные производные

, (2д)

, (3д)

.(4д)

Из (6) следует, что , так как не зависит от времени. Подставляя (2д) и (4д) в (6), получим

.

Сгруппируем члены этого уравнения по функциям sin и cos:

Так как функции sin и cos линейно независимы, то коэффициенты при них в этом уравнении должны быть равны нулю:

, (5д)

. (6д)

Интегрируя (6д), получаем (здесь частную производную можно заменить на полную производную)

, . (7д)

Постоянную интегрирования С находим из начальных условий. В начале координат при Х = 0 амплитуда колебаний температуры стержня равна , . Из второй формулы (7д) находим: . Тогда

. (8д)

Из (8д) находим

. (9д)

Подставляя (9д) в (5д), находим: . Отсюда находим скорость распространения температурной волны

. (10д)

Подставим (10д) в (8д):

. (11д)

Подставляя (10д) и (11д) в (11), получим (12).