Работа 5н. ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ И ИЗГИБА

Задание 1. Определить модуль Юнга стальной проволоки с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 17%.

Задание 2. Определить модуль Юнга дерева с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 5 %.

ЗАДАНИЕ 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА ПРОВОЛОКИ ПО ДЕФОРМАЦИИ РАСТЯЖЕНИЯ

Оборудование и принадлежности: Установка для проведения измерений, пять грузов массой по 0,395 кг, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Общий вид установки показан на рисунке 1. Стальная проволока АВ растягивается под действием переменных грузов Р. Первоначальная длина проволоки L0 измеряется линейкой D, ее диаметр D — микрометром, абсолютное удлинение DL – индикатором С.

В работе используется индикатор часового типа (рис. 2) модель ИЧ 10, класс точности 1, с ценой деления 0,01 мм. Он имеет абсолютную погрешность D(DL)и = 0,020 Мм.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Все реальные тела под действием внешних сил деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры. Различаются деформации растяжения (сжатия), сдвига, изгиба, кручения и более сложные виды деформации, которые всегда можно свести к двум: растяжение (сжатие) и сдвиг.

Если деформации исчезают после прекращения действия приложенных сил, то они называются упругими. Деформации, частично сохраняющиеся после снятия нагрузки, называются неупругими или пластическими. Следует отметить, что разделение деформаций на упругие и пластические условно. Строго говоря, после любой нагрузки возникает остаточная деформация. Но если она пренебрежимо мала, то деформации считаются упругими.

Рассмотрим деформацию растяжения однородного круглого стержня AB длиной L0, один конец которого жестко закреплен. Если к другому концу стержня приложить силу (рис. 3), его длина станет L. В качестве меры деформации растяжения служит абсолютное удлинение

X = DL = L – L0 (1)

И относительное удлинение

. (2)

Опыт показывает, что при деформации растяжения или сжатия изменяются также и поперечные размеры стержня. Пусть D0 и D – диаметры стержня до и после деформации растяжения. При деформации растяжения диаметр стержня уменьшается, т. е. D < D0. Величина

(3)

Называется относительным поперечным сжатием стержня. Относительное изменение объема стержня

, (4)

Так как E и D много меньше единицы, и их произведениями можно пренебречь.

Величина, равная отношению относительного поперечного сжатия к соответствующему относительному продольному удлинению называется коэффициентом Пуассона:

. (5)

Коэффициент Пуассона m зависит только от материала тела и является одной из важных характеристик его упругих свойств.

Выделим мысленно в стержне некоторое поперечное сечение C площадью S. Часть BC стержня находится в равновесии. Следовательно, в выделенном сечении со стороны другой части стержня AC действует упругая сила , равная по модулю внешней силе. Поскольку положение сечения С выбрано произвольно, то это значит, что упругая сила, действующая в любом поперечном сечении стержня равна по модулю внешней силе. Для характеристики деформированного состояния стержня вводят понятие нормального напряжения

, (6)

Которое численно равно упругой силе, действующей на единицу площади сечения, перпендикулярного силе. Отметим, что Сила упругости направлена противоположно направлению абсолютного удлинения. При однородной деформации нормальное напряжение одинаково в любой точке поперечного сечения стержня. При неоднородной деформации нормальное напряжение определяется как

, (7)

Где DFУ – упругая сила, перпендикулярная элементарной площадке DS, в пределах которой деформацию можно считать однородной.

Как показывает опыт, при малых деформациях между нормальным напряжением и относительным удлинением существует прямая пропорциональная зависимость

S = EE. (8)

Коэффициент пропорциональности E характеризует упругие свойства вещества и называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Модуль продольной упругости численно равен нормальному напряжению, которое возникает в теле при его относительном удлинении, равном единице, т. е. при увеличении длины стержня в два раза. Формула (8) выражает закон Гука, который формулируется следующим образом: В пределах упругости напряжение, возникающее в теле, прямо пропорционально относительной деформации.

Модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона M полностью характеризуют упругие свойства изотропного вещества. Все остальные упругие постоянные могут быть выражены через Е и M.

Из (1) – (5) следует, что при однородной деформации растяжения модуль силы упругости , где – коэффициент упругости стержня. При квазистатической деформации состояние стержня в любой момент времени является равновесным. Работа внешней силы F (рис. 3) при упругом растяжении переходит в потенциальную энергию упругой продольной деформации стержня. Если выполняется закон Гука (8), то

. (9)

Найдем объемную плотность потенциальной энергии упругой деформации, которая равна упругой потенциальной энергии единицы объема деформированного стержня:

.

При E « 1 (например, для металлов), получаем

. (10)

Упругие свойства реальных тел удобно изучать с помощью Диаграммы растяжения. Диаграммой растяжения стержня называют кривую, выражающую зависимость нормального напряжения S От относительного удлинения E стержня (рис. 4). При малых деформациях (от 0 до EA) выполняется закон Гука; это практически линейный участок 0A . Максимальное нормальное напряжение SA, соответствующее этому участку, называется пределом пропорциональности. При дальнейшем увеличении напряжения закон Гука не выполняется, хотя упругие свойства могут еще сохранятся. Максимальное напряжение SB, при котором сохраняются упругие свойства тела, называется пределом упругости. На участке Ab диаграммы деформация нелинейная, но еще упругая (обычно этот участок очень малый: SB больше SA на доли процента). При напряжениях, превышающих SB, деформация становится пластической (участок диаграммы Bc). Точка с диаграммы, которой соответствует напряжение SC и относительное удлинение EC, отражает Предел текучести стержня. При напряжениях, превышающих EC, удлинение нарастает практически без увеличения нагрузки. Это – область текучести материала (участок Cd). Когда относительное удлинение превзойдет значение ED, соответствующее Пределу прочности, наступает разрыв стержня. В некотором месте стержня образуется сужение, площадь поперечного сечения резко сокращается, в результате чего здесь напряжение возрастает (участок De). После достижения максимального значения SE напряжение резко уменьшается и стержень разрывается.

При упругих деформациях стержня, в том числе на участке Ab, между напряжением S и вызванным им относительным удлинением E существует однозначная зависимость (линия 0B) как при увеличении, так и при уменьшении напряжения. При пластических деформациях такой однозначности нет. После снятия напряжения на участке пластической деформации Bc в стержне наблюдается остаточная деформация E0; при уменьшении напряжения зависимость S от E будет иной (линия СE0), чем при увеличении напряжения. При повторном увеличении напряжения предел упругости стержня возрастает, его прочность (а вместе с тем и хрупкость) повышается. Это явление называют Наклепом. Явление наклепа при многократных деформациях тела, превышающих предел упругости, используется для упрочения тела (отбивание кос, прокат металла и т. д.).

При деформациях имеет место так называемое Упругое последействие. Сущность его состоит в том, что при неизменной величине напряжения, сразу после его быстрого возрастания, относительное удлинение тела будет возрастать еще в течение некоторого промежутка времени, постепенно замедляясь. И, наоборот, при неизменной величине напряжения, сразу после его быстрого уменьшения, относительное удлинение тела будет уменьшаться еще некоторое время. Ход этого явления иллюстрирует рисунок 5. В момент времени t1 напряжение быстро увеличили от значения s0 до s1. Относительное удлинение, увеличившись от e0 до e1, еще некоторое время продолжает возрастать. На рисунке 5, для наглядности, это возрастание сильно преувеличено. В момент времени t2 напряжение уменьшили до значения s2. Относительное удлинение, уменьшившись до значения e2, еще в течение некоторого промежутка времени продолжает уменьшаться. При квазистатическом, т. е. очень медленном изменении напряжения упругое последействие не будет наблюдаться.

При периодических, одинаковых по модулю растяжениях и сжатиях стержня, при которых модуль максимального напряжения попадает в область пластических деформаций (SУ < SА < SТ, SА = êSBê, EА = êEBê), зависимость S от E представляет собой Петлю упругого гистерезиса (рис. 6, замкнутая кривая АE0BE0¢А). Линия 0А – диаграмма первоначального растяжения стержня. Точка А находится в области пластических деформаций. Линия АE0В – график зависимости S(E) при уменьшении напряжения и последующем сжатии стержня. При S = 0 имеет место остаточная деформация растяжения E0. Точка В, симметричная точке А, также находится в области пластических деформаций. Линия ВE0¢А – график зависимости S(E) при уменьшении напряжения сжатия и последующем растяжении стержня. При S = 0 сохраняется остаточная деформация сжатия E0¢.

Элементарная работа действующей на стержень внешней силы F (F = FУ) DA = Fdx = FУDx = SSl0DE, то есть SDE = DA/(Sl0) равно элементарной работе по деформации единицы объема стержня. Отсюда следует, что площадь криволинейной трапеции под графиком зависимости S(E) равна работе внешней силы (или силы упругости) при деформации единицы объема стержня.

Так как при растяжении и сжатии стержня деформации являются пластическими, то работа внешней силы частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации, частично – во внутреннюю энергию стержня. Площади криволинейных треугольников E0¢АE1 и E0ВE1¢ равны работе внешней силы по деформации единицы объема стержня при растяжении и сжатии соответственно. Площади треугольников E0АE1 и E0¢ВE1¢ (на рисунке 6 затемнены) равны потенциальной энергии единицы объема деформированного стержня, которая переходит в работу силы упругости единицы объема стержня при уменьшении напряжения до нуля растянутого и сжатого стержня соответственно. Разность суммарной работы внешней силы и силы упругости за один цикл деформации единицы объема стержня равна площади петли гистерезиса АE0ВE0¢А и представляет собой количество теплоты, выделившееся в единице объема стержня за один цикл деформации.

Теория метода. Проволока диаметром поперечного сечения D, начальной длины L0, изготовленная из исследуемого материала, растягивается под действием груза P (рис. 1) массой M. Закон Гука (8) в этом случае можно представить в виде

(11)

Где коэффициент пропорциональности A – практически постоянная для данного образца величина.

Если, изменяя массу груза M, каждый раз измерять абсолютное удлинение проволоки DL и построить график DL = F(M), то можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика D(DL)/DM легко определить коэффициент пропорциональности A в (11) и рассчитать модуль продольной упругости (модуль Юнга) проволоки:

(12)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок DM и соответствующий ему интервал абсолютных удлинений D(DL) на графике следует выбирать по возможности большими (но в пределах пропорциональности).

Порядок выполнения задания 1

1. Провести контрольные измерения величин DL, L0, D, входящих в уравнение (11). Масса каждого груза M = 395 г дана с точностью 1 г.

2. Оценить минимальную относительную погрешность прямых измерений DL, M, L0, D.

3. Оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений величины A (A = DL/M).

4. Оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений модуля Юнга Е (формула (12)).

5. Провести измерения DL при различных массах M подвешиваемых к проволоке грузов, постепенно увеличивая, а затем уменьшая нагрузку. Результаты измерений занести в таблицу 1. 6. Оценить относительную случайную погрешность величины A методом наименьших квадратов. (Описание МНК дано в приложении к работе. Необходимо учесть, что при N = 10 DAC = ЗSA,).

7. Оценить полную относительную погрешность косвенных измерений величины A.

8. Определить модуль Юнга проволоки.

9. Оценить полную относительную погрешность косвенных измерений модуля Юнга проволоки.

Таблица 1.

Результаты измерений и расчетов для определения модуля продольной упругости проволоки.

ЗАДАНИЕ 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ПРОДОЛЬНОЙ УПРУГОСТИ ДЕРЕВА

ПО ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА

Задание. Определить модуль Юнга дерева по деформации изгиба с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: Установка для проведения измерений, набор брусков и грузов, штангенциркуль, линейка.

Описание установки. Общий вид установки показан на рисунке 1, ее рабочая часть крупным планом – на рисунке 2. Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют производить выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, вдоль которой можно перемещать верхний кронштейн 4 со стержнем 5 и нижний кронштейн 6 с индикатором часового типа 7. Кронштейны зафиксированы на колонке с помощью винтов 8 и 9. Исследуемый образец (деревянный брусок) 10 располагается на опорах 11. На нижнем конце стержня 5 закреплена треугольная призма 12, а сверху – платформа 13, на которую помещают грузы 14. Положение стержня в кронштейне 4 регулируется винтом 15.

Прогиб бруска осуществляется с помощью призмы 12, добавочная сила давления которой на брусок равна силе тяжести грузов, положенных на платформу. Расстояние между опорами можно изменять. Каждая из них может быть установлена на основании в одном из трех гнезд 16

Перемещая кронштейны 4 и 6 необходимо установить их так, чтобы призма 12 и измерительный штифт индикатора часового типа касались бруска. Установив нулевое значение шкалы индикатора и помещая на платформу 13 грузы, измеряют стрелу прогиба бруска с помощью индикатора часового типа.

В работе используется индикатор часового типа (рис. 2) модель ИЧ 10, класс точности 1, с ценой деления 0,01 мм. Он имеет абсолютную погрешность D(DL)и = 0,020 Мм.

Теория метода. Деформация изгиба характеризуется стрелой прогиба H, которая, как показывают расчеты (см. [5]), для однородного изотропного бруска определяется соотношением (закон Гука)

(11)

Где L — расстояние между опорами; A — ширина бруска; B — его высота; Е – модуль продольной упругости (модуль Юнга) материала бруска, M – масса груза, создающего добавочную силу давления F (рис. 9) на середину бруска. Коэффициент пропорциональности B для данного образца — практически постоянная величина.

Если прямоугольный брусок свободно положить на две опоры А и В и на его середину подействовать силой F = Mg, то брусок изогнется (рис. 9). Если изменять массу груза M, то изменяется и стрела прогиба H. Построив график H = H(M), можно убедиться в справедливости закона Гука. По наклону графика DH/DM легко определить коэффициент пропорциональности B в (11) и рассчитать модуль продольной упругости прямоугольного бруска:

(12)

Для уменьшения погрешности интервал нагрузок DM и соответствующий ему интервал стрелы прогиба DH на графике следует выбирать по возможности большим (но в пределах пропорциональности).

Порядок выполнения задания

1.Установить опоры на максимальном расстоянии друг от друга. Провести контрольные измерения размеров первого бруска A, B, расстояния между опорными призмами L и стрелы прогиба H при минимальной массе груза M.

2. Оценить минимальную относительную погрешность прямых измерений L, A, B, M, H.

3. Оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений величины B (B = H/M).

4. Оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений модуля Юнга Е (формула (12)).

5. Провести измерения H при различных массах M груза на платформе, постепенно увеличивая, а затем уменьшая нагрузку. Результаты измерений занести в таблицу 2.

6. Оценить относительную случайную погрешность величины B методом наименьших квадратов. (Описание МНК дано в [1] и в приложении к работе 5. Необходимо учесть, что при N = 10 DBC = ЗSB, при N = 5 DBC = 5SB.

7 Оценить полную относительную погрешность косвенных измерений величины B.

8. Определить модуль Юнга первого бруска.

9. Выполнить пункты 5 и 8 для двух других симметричных положений опор.

Таблица 2.

Результаты измерений и расчетов для определения модуля продольной упругости деревянного бруска.

10 Оценить полную относительную погрешность косвенных измерений модуля Юнга первого бруска.

11. Выполнить пункты 5 и 8 для второго и третьего брусков.

12. Проверить зависимость стрелы прогиба от ширины для двух брусков одинаковой толщины .

13. Проверить зависимость стрелы прогиба от толщины для двух брусков одинаковой ширины .

14. Проверить зависимость стрелы прогиба от расстояния между опорными призмами для двух брусков одинаковой ширины и толщины .

На основании проделанных измерений сформулировать цель работы и сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте закон Гука для изучаемой деформации. Исходя из каких соображений подбираются внешние нагрузки для проверки закона Гука?

2. Как определяется нормальное напряжение стержня с косым срезом торца, если внешняя сила направлена вдоль оси стержня?

3. Каков физический смысл модуля Юнга? От чего зависит эта величина?

4. Опишите зависимость S от E при растяжении стержня.

5. Какова связь коэффициента Пуассона и относительного удлинения стержня?

6. Получите выражение для объемной плотности энергии упругих продольных деформаций стержня.

7. Опишите петлю гистерезиса при продольных деформациях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кембровский Г. С. Приближенные вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. -Минск: Изд-во "Университетское", 1990.

2. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986.

3. Петровский И. И. Механика. -Минск: Изд-во БГУ, 1973.

4. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.

5. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика.

6. Стрелков С. П. Механика. -М.: Наука,

7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г. С. — Минск: Изд-во "Университетское", 1986.

ПРИЛОЖЕНИЕ

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида У = ах + B, чтобы сумма квадратов отклонений DУi (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (Метод «наименьших квадратов»), т. е. чтобы величина

Рис. 5

(1)

Имела минимум. Здесь Xi и Yi — значения величин Х и У в I-том измерении, N — количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам А и B будут равны нулю:

(2)

Отсюда наилучшие значения параметров «а» и «B» равны:

(3)

Где средние значения ,.

Введем обозначения

и (4)

Абсолютные случайные погрешности DАсл и DBсл определяются по формулам:

и (5)

Где Tp, n-2 — коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P и (n-2) измерений. При P = 0,95 и N ~ 12-15 коэффициент Tp, n-2 = 2,25, а при P = 0,997 и тех же значениях N Коэффициент Tp, n-2 = 3,25.